Teorema de abel

El teorema de Abel es un resultado de la teoría de la serie de potencias , llamada así por el matemático noruego Niels Abel . El inverso es el teorema de Abel-Tauber .

Declaración

Sea una serie de potencias con coeficientes complejos y radio de convergencia . ${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}x^{n))$ $R$

Si la serie es convergente entonces: ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n))$

\lim _{x\to R^{-}}f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}

Prueba

Se puede considerar un cambio de variables . También (mediante la selección necesaria de ) podemos suponer . Denotemos las sumas parciales de la serie . Según el supuesto y es necesario demostrar que . ${\ estilo de visualización u = x / R}$ $R=1$ $un_{0}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ suma a_ {n} = 0}$ $S_{n}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ suma a_ {n}}$ $\lim _{n\to \infty}S_{n}=0$ $\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=0$

Considere . Entonces (suponiendo ): $x\en[0,1]$ ${\ estilo de visualización S_ {-1} = 0}$

\sum_{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})x^{n}=\sum_{n=0}^{N}S_{n} (x^{n}-x^{n+1})+S_{N}x^{N+1}.

A partir de aquí resulta . ${\displaystyle \textstyle f(x)=(1-x)\sum \limits _{n=0}^{\infty}S_{n}x^{n))$

Para un arbitrario hay un número natural , que es para todos , entonces: $\varepsilon >0$ $N_{0}$ $|S_{n}|\leq\varepsilon$ $n>N_{0}$

\vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +(1-x)\ \varepsilon \sum _{n=N_{0}+1}^{\infty}x^{n}=(1-x)\left\vert \sum _{n=0} ^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +\varepsilon x^{N_{0}+1}.

El lado derecho tiende a cuando tiende a 1, en particular es más pequeño cuando tiende a 1. $\varepsilon$ $X$ ${\ estilo de visualización 2 \ varepsilon}$ $X$

Ejemplos

Ejemplos 1

Tomemos . Como la serie converge, tenemos: $\textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\ln(1 +x)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\ln 2=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{ norte}}

Ejemplos 2

Tomemos . Como la serie converge, tenemos: $\textstyle g(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan (X)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$

\lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum_{n\geqslant 0}{\ fracción {(-1)^{n}}{2n+1}}

Enlaces

Abel summability (inglés) en el sitio web de PlanetMath . (una mirada más general a los teoremas abelianos de este tipo)
Weisstein, Eric W. Abel's Convergence Theorem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .