Círculo de Convergencia

El círculo de convergencia [1] de una serie de potencias es un círculo de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$

D=\{z: |z-z_0| <R\}

. .

z\in\mathbb C

en el que la serie converge absolutamente , y fuera de ella, en , diverge . En otras palabras, el círculo de convergencia de una serie de potencias es el interior del conjunto de puntos de convergencia de la serie. El círculo de convergencia puede degenerar en un conjunto vacío cuando , y puede coincidir con todo el plano de la variable cuando . $|z-z_0|>R$ $R=0$ $z$ $R = \infty$

Radio de convergencia

El radio del círculo de convergencia se denomina radio de convergencia [1] de la serie.

El radio de convergencia de la serie de Taylor de una función analítica es igual a la distancia del centro de la serie al conjunto de puntos singulares de la función, y se puede calcular mediante la fórmula de Cauchy-Hadamard :

{1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, |a_n|^{1/n}

Esta fórmula se deriva de la prueba de Cauchy .

El teorema de Ostrovsky-Hadamard

Para serie de potencia

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

para el cual casi todos los coeficientes son iguales a cero, en el sentido de que la secuencia de coeficientes distintos de cero satisface $a_{k(yo)}$

{\frac {k(i+1)}{k(i)}}>1+\delta

para algunos fijos , un círculo con un centro y un radio igual al radio de convergencia es un límite natural: la continuación analítica de la función definida por tal serie es imposible fuera del círculo. $\delta>0$ $z_{0}$

Literatura

↑ 1 2 Fikhtengolts Grigori Mijailovich. Curso de cálculo diferencial e integral - 2 tomo . - 8. - Moscú: Fizmatlit, 2001-. - S. 557. - 864 pág. — ISBN 5-9221-0157-9 .

Véase también

Continuación analítica