Teorema de Bolzano-Weierstrass

El teorema de Bolzano-Weierstrass , o lema del punto límite de Bolzano-Weierstrass , es una propuesta de análisis , una de cuyas formulaciones dice: de toda sucesión limitada de puntos en el espacio , se puede distinguir una subsucesión convergente. El teorema de Bolzano-Weierstrass, especialmente el caso de una secuencia numérica ( ), se incluye en todos los cursos de análisis. Se utiliza en la demostración de muchas propuestas de análisis, por ejemplo, el teorema sobre el logro de una función continua en un segmento por sus mejores cotas superior e inferior . El teorema lleva los nombres del matemático checo Bolzano y el matemático alemán Weierstrass $\mathbb{R} ^{n}$ $n=1$ , quien lo formuló y demostró de forma independiente.

Formulaciones

Se conocen varias formulaciones del teorema de Bolzano-Weierstrass.

Primera redacción

Propongamos una secuencia de puntos en el espacio $\mathbb{R} ^{n}$ :

x_1, x_2, \ldots

y permita que esta secuencia sea acotada , es decir,

\| x_k\| \leqslant C, \; k = 1, 2, \l puntos

donde hay algun numero. $C > 0$

Entonces de esta secuencia podemos seleccionar una subsecuencia

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

que converge en algún punto del espacio . $\mathbb{R} ^{n}$

El teorema de Bolzano-Weierstrass en esta formulación a veces se llama el principio de compacidad de una secuencia acotada .

Versión ampliada de la primera redacción

A menudo, el teorema de Bolzano-Weierstrass se complementa con la siguiente proposición.

Si la secuencia de puntos en el espacio es ilimitada , entonces es posible seleccionar una subsecuencia que tenga un límite . $\mathbb{R} ^{n}$ $\infty$

Para el caso, esta formulación puede ser refinada: de cualquier secuencia numérica ilimitada, se puede seleccionar una subsecuencia que tenga un límite de infinito de un signo determinado ( o ). $n=1$ $+\infty$ $-\infty$

Por lo tanto, cualquier secuencia numérica contiene una subsecuencia que tiene un límite en el conjunto extendido de números reales . $\overline{\mathbb{R))$

Segunda redacción

La siguiente proposición es una formulación alternativa del teorema de Bolzano-Weierstrass.

Todo subconjunto infinito acotado del espacio tiene al menos un punto límite en . $mi$ $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Más detalladamente, esto significa que existe un punto , cada vecindad del cual contiene un número infinito de puntos del conjunto . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $U_{\varepsilon}(x_0)$ $mi$

Prueba de la equivalencia de dos formulaciones del teorema de Bolzano-Weierstrass

$\bigl ( 1 \flecha derecha 2 \bigr )$ Sea un subconjunto infinito acotado del espacio . Tomar en una secuencia de diferentes puntos $mi$ $\mathbb{R}^n$ $mi$

x_1, x_2, \ldots

Dado que esta sucesión está acotada, en virtud de la primera formulación del teorema de Bolzano-Weierstrass, se puede extraer de ella una subsucesión

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

convergiendo en algún punto . Entonces cualquier vecindad del punto contiene un número infinito de puntos del conjunto . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $x_0$ $mi$

\bigl ( 2 \flecha derecha 1 \bigr )

Por el contrario, sea dada una sucesión acotada arbitraria de puntos en el espacio :

\mathbb{R}^n

$x_1, x_2, \ldots$ El conjunto de valores de esta sucesión es limitado, pero puede ser infinito o finito. Si es finito, entonces uno de los valores se repite en la secuencia un número infinito de veces. Luego, estos términos forman una subsecuencia estacionaria (es decir, una secuencia cuyos elementos son todos iguales, comenzando por algunos) que convergen en el punto . $mi$ $mi$ $un \ en E$ $a$

Si el conjunto es infinito, entonces, en virtud de la segunda formulación del teorema de Bolzano-Weierstrass, existe un punto en cualquier vecindad del cual hay infinitos miembros diferentes de la secuencia. $mi$ $x_0 \in \mathbb{R}^n$

Elijamos secuencialmente para el punto mientras observamos la condición de números crecientes: $m = 1, 2, \l puntos$ $x_{k_m} \en U_{1/m}(x_0)$

k_1 < k_2 < \ldots

Entonces la subsecuencia converge al punto .

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

x_0

demostración de quod erat

Prueba

El teorema de Bolzano-Weierstrass se deriva de la propiedad de completitud del conjunto de números reales . La variante más conocida de la prueba utiliza la propiedad de completitud en forma de principio de segmentos anidados .

Caso unidimensional

Probemos que de cualquier secuencia numérica acotada es posible seleccionar una subsecuencia convergente. El siguiente método de prueba se llama método de Bolzano o método de bisección .

Sea dada una sucesión numérica acotada

x_{1},x_{2},x_{3},\ldots

De la acotación de la secuencia se sigue que todos sus miembros se encuentran en un cierto segmento de la línea real, que denotamos por . $[a_0, b_0]$

Divide el segmento por la mitad en dos segmentos iguales. Al menos uno de los segmentos resultantes contiene un número infinito de miembros de secuencia. Vamos a designarlo . $[a_0, b_0]$ $[a_1, b_1]$

En el siguiente paso, repetimos el procedimiento con el segmento : lo dividimos en dos segmentos iguales y elegimos de ellos el que contiene un número infinito de miembros de la secuencia. Vamos a designarlo . $[a_1, b_1]$ $[a_2, b_2]$

Continuando con el proceso, obtenemos una secuencia de segmentos anidados

[a_0, b_0] \supset [a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \ldots

en el que cada subsiguiente es la mitad del anterior y contiene un número infinito de miembros de la secuencia . $\{x_k\}$

Las longitudes de los segmentos tienden a cero:

|b_m - a_m| = \frac{|b_0 - a_0|}{2^m} \a 0

En virtud del principio de Cauchy-Cantor de los segmentos anidados , existe un único punto que pertenece a todos los segmentos: $\xi$

a_m \leqslant \xi \leqslant b_m, \; m = 0, 1, \l puntos

Por construcción, cada segmento contiene un número infinito de términos de la sucesión. Elijamos una secuencia $[a_m, b_m]$

x_{k_m} \in [a_m,b_m], \; m = 0, 1, 2, \l puntos

mientras se observa la condición de números crecientes:

k_0 < k_1 < \ldots

Entonces la subsecuencia converge al punto . Esto se sigue del hecho de que la distancia de a no excede la longitud del segmento que los contiene , de donde $\{ x_{k_m} \}$ $\xi$ $x_{k_m}$ $\xi$ $[a_m, b_m]$

|x_{k_m} - \xi | \leqslant |b_m - a_m| \ a 0

Extensión al caso de un espacio de dimensión finita arbitraria

El teorema de Bolzano-Weierstrass se generaliza fácilmente al caso de un espacio de dimensión arbitraria.

Sea dada una secuencia de puntos en el espacio : $\mathbb{R}^n$

\begin{matriz} x_1 = (x_1^{(1)}, x_1^{(2)}, \ldots, x_1^{(n)}) \\ x_2 = (x_2^{(1)}, x_2^ {(2)}, \ldots, x_2^{(n)}) \\ \ldots \\ \end{matriz}

(el índice inferior es el número del miembro de la secuencia, el superior es el número de coordenadas). Si la secuencia de puntos en el espacio es limitada, entonces cada una de las secuencias numéricas de coordenadas: $\mathbb{R}^n$

x_1^{(\nu)}, x_2^{(\nu)}, \ldots

también está limitado ( es el número de coordenadas). $\nu = 1, \ldots, n$

En virtud de la variante unidimensional del teorema de Bolzano-Weierstrass, es posible extraer de la secuencia una subsecuencia de puntos cuyas primeras coordenadas forman una secuencia convergente. De la subsecuencia resultante, seleccionamos una vez más una subsecuencia que converge a lo largo de la segunda coordenada. En este caso, la convergencia en la primera coordenada se conserva debido a que cualquier subsecuencia de una secuencia convergente también converge. Y así. $\{x_k\}$ $\{ x_{k_m} \}$ $\{x_{k_m}^{(1)} \}$

Después de los pasos, obtenemos una secuencia. $norte$

x_{r_1}, x_{r_2}, \ldots

que es una subsecuencia de , y converge en cada una de las coordenadas. Se sigue que esta subsecuencia converge. $x_1, x_2, \ldots$

Historia

El teorema de Bolzano-Weierstrass (para el caso ) fue demostrado por primera vez por el matemático checo Bolzano en 1817. En la obra de Bolzano aparecía como lema en la demostración del teorema de los valores intermedios de una función continua , ahora conocido como teorema de Bolzano-Cauchy. Sin embargo, estos y otros resultados, probados por Bolzano mucho antes que Cauchy y Weierstrass , pasaron desapercibidos. $n=1$

Solo medio siglo después, Weierstrass, independientemente de Bolzano, redescubrió y probó este teorema. Originalmente se llamó el teorema de Weierstrass, antes de que el trabajo de Bolzano fuera conocido y recibiera reconocimiento.

Hoy este teorema lleva los nombres de Bolzano y Weierstrass. A menudo, este teorema se denomina lema de Bolzano-Weierstrass y, a veces, lema del punto límite .

El teorema de Bolzano-Weierstrass y la noción de compacidad

El teorema de Bolzano-Weierstrass establece la siguiente propiedad interesante de un conjunto acotado : toda secuencia de puntos contiene una subsecuencia convergente. $M \subconjunto \mathbb{R}^n$ $METRO$

Cuando se prueban varias proposiciones en el análisis, a menudo se recurre al siguiente truco: se determina una secuencia de puntos que tiene alguna propiedad deseada, y luego se selecciona de ella una subsecuencia que también la posee, pero que ya converge. Por ejemplo, así se demuestra el teorema de Weierstrass de que una función continua en un intervalo está acotada y toma sus valores mayor y menor.

La eficacia de tal técnica en general, así como el deseo de extender el teorema de Weierstrass a espacios métricos arbitrarios , llevó al matemático francés Maurice Fréchet a introducir el concepto de compacidad en 1906 . La propiedad de los conjuntos acotados en , que se establece por el teorema de Bolzano-Weierstrass, es, en sentido figurado, que los puntos del conjunto se ubican más bien "cercanos" o "compactos": después de dar un número infinito de pasos a lo largo de este conjunto , sin duda nos acercaremos tanto como queramos a un punto en el espacio. $\mathbb{R}^n$

Fréchet introduce la siguiente definición: un conjunto se llama compacto , o compacto si alguna secuencia de sus puntos contiene una subsecuencia convergente en algún punto de este conjunto. Se supone que una métrica está definida sobre el conjunto, es decir, es un espacio métrico , o un subconjunto de un espacio métrico. $METRO$ $METRO$

Según esta definición, no todo conjunto acotado es compacto: una subsecuencia de puntos puede converger en un punto que ya no pertenece a este conjunto. Sin embargo, el cierre de un conjunto acotado ya es compacto. Así, el teorema de Bolzano-Weierstrass establece una condición suficiente para la compacidad en el espacio : para que un conjunto sea compacto , basta que sea cerrado y acotado. No es difícil verificar la necesidad de estas condiciones (esto es mucho más fácil que probar la suficiencia). $M \subconjunto \mathbb{R}^n$ $METRO$ $\mathbb{R}^n$ $M \subconjunto \mathbb{R}^n$

Así, desde el punto de vista de la definición general de compacidad, el papel del teorema de Bolzano-Weierstrass es que establece un criterio de compacidad en el espacio : los conjuntos compactos son conjuntos acotados exactamente cerrados. $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Véase también

Notas

Literatura

Kudryavtsev L. D. Curso de Análisis Matemático. - 5ª ed. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Rybnikov K. A. Historia de las matemáticas. - M. : Editorial de la Universidad de Moscú, 1963. - T. 2.
Rudin U. Fundamentos del análisis matemático = Principios del análisis matemático / per. De inglés. teniendo La segunda es estereotipada. - M. : "Mir", 1976.