Continuidad del conjunto de los números reales

La continuidad de los números reales es una propiedad del sistema de los números reales , que no tiene el conjunto de los números racionales . A veces, en lugar de continuidad, se habla de la completitud del sistema de los números reales [1] . Hay varias formulaciones diferentes de la propiedad de continuidad, las más famosas son el principio de continuidad de Dedekind para números reales , el principio de Cauchy - Cantor de segmentos anidados y el teorema del límite superior mínimo . Dependiendo de la definición aceptada de un número real , la propiedad de continuidad puede postularse como un axioma , en una formulación u otra, o demostrarse como un teorema [2] . $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {Q}$

Axioma de continuidad

En la construcción axiomática de la teoría de un número real , el número de axiomas incluye necesariamente el siguiente enunciado o su equivalente [3] :

Axioma de continuidad (completitud). Cualesquiera que sean los conjuntos no vacíosy, tal que para cualesquiera dos elementosycumple la desigualdad, existe un número realtal que para todosyse cumple la relación $A\subconjunto \mathbb {R}$ $B\subconjunto \mathbb {R}$ $a \ en A$ $b\en B$ $a\leqslant b$ $\xi$ $a \ en A$ $b\en B$

a\leqslant \xi \leqslant b

Geométricamente (si tratamos los números reales como puntos en una recta ), si los conjuntos y son tales que en la recta numérica todos los elementos de uno de ellos están a la izquierda de todos los elementos de la segunda, entonces hay un número que separa estos dos conjuntos, es decir, se encuentra a la derecha de todos los elementos (excepto, posiblemente, la mayoría ) ya la izquierda de todos los elementos (misma salvedad). $A$ $B$ $\xi$ $A$ $\xi$ $B$

El conjunto de los números racionales no tiene esta propiedad. Por ejemplo, si tomamos dos conjuntos:

A=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^{2}<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0 ,\;x^{2}>2\},

entonces la desigualdad se cumple para cualquier elemento y . Sin embargo, no existe un número racional que separe estos dos conjuntos. De hecho, este número solo puede ser , pero no es racional . $a \ en A$ $b\en B$ $a<b$ $\xi$ ${\ sqrt {2}}$

El papel del axioma de continuidad en la construcción del cálculo

La importancia del axioma de continuidad es tal que sin él es imposible una construcción rigurosa del análisis matemático. Para ilustrar, presentamos varios enunciados fundamentales de análisis, cuya demostración se basa en la continuidad de los números reales:

( Teorema de Weierstrass ). Toda sucesión acotada monótonamente creciente converge
( Teorema de Bolzano-Cauchy ). Una función continua sobre un segmento que toma valores de distinto signo en sus extremos se anula en algún punto interior del segmento
(Existencia de potencia , exponencial , logarítmica y todas las funciones trigonométricas sobre todo el dominio "natural" de definición). Por ejemplo, se demuestra que para todo número entero existe , es decir, una solución a la ecuación . Esto le permite determinar el valor de la expresión para todos los racionales : $a>0$ $n\geqslant 1$ ${\sqrt[{n}]{a))$ $x^{n}=a,x>0$ $un ^ {x}$ $X$

$a^{{m/n}}=\left({\sqrt[ {n}]{a}}\right)^{m}$

Finalmente, nuevamente, debido a la continuidad de la recta numérica, es posible determinar el valor de la expresión ya para un . De manera similar, usando la propiedad de continuidad, demostramos la existencia de un número para cualquier .

un ^ {x}

x\en \mathbb{R}

\ log _ {{a}} {b}

a,b>0,a\neq 1

Durante un largo período de tiempo histórico, los matemáticos demostraron teoremas a partir del análisis, en "lugares débiles" refiriéndose a la justificación geométrica, y más a menudo saltándoselos por completo, ya que era obvio. El concepto esencial de continuidad se utilizó sin una definición clara. Recién en el último tercio del siglo XIX el matemático alemán Karl Weierstrass produjo la aritmetización del análisis, construyendo la primera teoría rigurosa de los números reales como fracciones decimales infinitas. Propuso una definición clásica del límite en el lenguaje , probó una serie de afirmaciones que se consideraban "obvias" antes que él, y así completó la base del análisis matemático. $\varepsilon-\delta$

Más tarde, se propusieron otros enfoques para la definición de un número real. En el enfoque axiomático , la continuidad de los números reales se destaca explícitamente como un axioma separado. En los enfoques constructivos de la teoría de números reales, como cuando se construyen números reales utilizando secciones de Dedekind , la propiedad de continuidad (en una formulación u otra) se demuestra como un teorema.

Otras formulaciones de la propiedad de continuidad y oraciones equivalentes

Hay varios enunciados diferentes que expresan la propiedad de continuidad de los números reales. Cada uno de estos principios se puede utilizar como base para construir la teoría de un número real como un axioma de continuidad, y todos los demás se pueden derivar de él [4] [5] . Este tema se discute con más detalle en la siguiente sección.

Continuidad de Dedekind

La cuestión de la continuidad de los números reales la considera Dedekind en su obra "Continuidad y números irracionales " [6] . En él compara los números racionales con los puntos de una línea recta . Como sabes, entre los números racionales y los puntos de una recta, se puede establecer una correspondencia cuando se elige el punto de partida y la unidad de medida de los segmentos sobre la recta. Con la ayuda de este último, es posible construir el segmento correspondiente para cada número racional , y apartándolo a la derecha o a la izquierda, según sea un número positivo o negativo, obtener un punto correspondiente al número . Así, cada número racional corresponde a uno y sólo un punto de la recta. $a$ $a$ $pags$ $a$ $a$ $pags$

Resulta que hay infinitos puntos en la línea que no corresponden a ningún número racional. Por ejemplo, un punto obtenido al graficar la longitud de la diagonal de un cuadrado construido sobre un segmento unitario. Por lo tanto, el reino de los números racionales no tiene esa integridad , o continuidad , que es inherente a una línea recta.

La comparación anterior de la región de los números racionales con la línea recta llevó al descubrimiento en la primera de fallas (Lückenhaftigkeit), incompletitud o discontinuidad, mientras que a la línea recta le atribuimos completitud, ausencia de lagunas, continuidad.R. Dedekind, "Continuidad y números irracionales"

Para saber en qué consiste esta continuidad, Dedekind hace la siguiente observación. Si hay un cierto punto de la línea, entonces todos los puntos de la línea se dividen en dos clases : puntos ubicados a la izquierda y puntos ubicados a la derecha . El punto en sí puede asignarse arbitrariamente a la clase inferior o superior. Dedekind ve la esencia de la continuidad en el principio inverso: $pags$ $pags$ $pags$ $pags$

Si los puntos de una recta se dividen en dos clases de manera que todo punto de la primera clase se encuentra a la izquierda de todo punto de la segunda clase, entonces hay un único punto que produce esta división de la recta en dos clases, esta es la disección de la línea en dos partes.R. Dedekind, "Continuidad y números irracionales"

Geométricamente, este principio parece obvio, pero no estamos en condiciones de demostrarlo. Dedekind destaca que, en esencia, este principio es un postulado , que expresa la esencia de esa propiedad atribuida a la línea directa, que llamamos continuidad.

La aceptación de esta propiedad de la línea recta no es más que un axioma, por el cual sólo reconocemos su continuidad como línea recta, invirtiendo mentalmente la continuidad en una línea recta.R. Dedekind, "Continuidad y números irracionales"

Para comprender mejor la esencia de la continuidad de la recta numérica en el sentido de Dedekind, considere una sección arbitraria del conjunto de números reales, es decir, la división de todos los números reales en dos clases no vacías, de modo que todos los números de una clase se encuentran en la recta numérica a la izquierda de todos los números de la segunda. Estas clases se denominan clases de sección inferior y superior , respectivamente. Teóricamente, hay 4 posibilidades:

La clase inferior tiene un elemento máximo , la clase superior no tiene un mínimo
La clase inferior no tiene un elemento máximo, mientras que la clase superior tiene un mínimo.
La clase inferior tiene un elemento máximo y la clase superior tiene un elemento mínimo.
La clase inferior no tiene un máximo y la clase superior no tiene un elemento mínimo.

En los casos primero y segundo, el elemento máximo del inferior o el elemento mínimo del superior, respectivamente, produce esta sección. En el tercer caso, tenemos un salto , y en el cuarto, un desnivel . Así, la continuidad de la recta numérica significa que no hay saltos ni huecos en el conjunto de los números reales, es decir, en sentido figurado, no hay vacíos.

Si introducimos el concepto de una sección del conjunto de números reales, entonces el principio de continuidad de Dedekind se puede formular de la siguiente manera.

Principio de continuidad de Dedekind (completitud). Para cada sección del conjunto de números reales, hay un número que produce esta sección.

Comentario. La formulación del Axioma de Continuidad sobre la existencia de un punto que separa dos conjuntos recuerda mucho a la formulación del principio de continuidad de Dedekind. De hecho, estas declaraciones son equivalentes y, en esencia, son formulaciones diferentes de lo mismo. Por lo tanto, ambos enunciados se denominan principio de continuidad de los números reales de Dedekind .

Lema sobre segmentos anidados (principio de Cauchy-Cantor)

Lema sobre segmentos anidados ( Cauchy - Kantor ). Cualquier sistema de segmentos anidados

[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \ldots

tiene una intersección no vacía, es decir, hay al menos un número que pertenece a todos los segmentos del sistema dado.

Si, además, la longitud de los segmentos del sistema dado tiende a cero, es decir,

\forall \varepsilon >0\;\exists n_{{\varepsilon }}\;\forall n{\bigl (}n>n_({\varepsilon }}\Rightarrow b_{n}-a_{n}<\varepsilon {\Gran R )}

entonces la intersección de los segmentos de este sistema consta de un punto.

Esta propiedad se llama continuidad del conjunto de los números reales en el sentido de Cantor . Se mostrará a continuación que para los campos ordenados de Arquímedes la continuidad según Cantor es equivalente a la continuidad según Dedekind.

El principio supremo

El principio de supremacía. Todoconjunto no vacío de números reales acotados superiormente tiene un supremo .

En los cursos de cálculo , esta proposición suele ser un teorema , y su demostración hace un uso significativo de la continuidad del conjunto de números reales de una forma u otra. Al mismo tiempo, por el contrario, es posible postular la existencia de un supremo para cualquier conjunto no vacío acotado superiormente, y apoyándose en esto para demostrar, por ejemplo, el principio de continuidad de Dedekind. Así, el teorema del supremo es una de las formulaciones equivalentes de la propiedad de continuidad de los números reales.

Comentario. En lugar del supremo, se puede utilizar el concepto dual del ínfimo.

El principio del ínfimo. Todo conjunto no vacíode números reales acotados a continuación tiene un ínfimo .

Esta proposición también es equivalente al principio de continuidad de Dedekind. Además, se puede demostrar que el enunciado del teorema del mínimo se sigue directamente del enunciado del teorema del supremo, y viceversa (ver más abajo).

Lema de cobertura finita (principio de Heine-Borel)

Lema de Cobertura Finito ( Heine - Borel ). En cualquier sistema de intervalos que cubre un segmento, hay un subsistema finito que cubre este segmento.

Lema del punto límite (principio de Bolzano-Weierstrass)

Lema del punto límite ( Bolzano - Weierstrass ). Todo conjunto de números acotados al infinito tiene al menos un punto límite.

Equivalencia de oraciones que expresan la continuidad del conjunto de números reales

Hagamos algunas observaciones preliminares. De acuerdo con la definición axiomática de un número real , la colección de números reales satisface tres grupos de axiomas. El primer grupo son los axiomas de campo . El segundo grupo expresa el hecho de que el conjunto de números reales es un conjunto linealmente ordenado , y la relación de orden es consistente con las operaciones básicas del campo. Así, el primer y segundo grupo de axiomas significan que el conjunto de los números reales es un cuerpo ordenado . El tercer grupo de axiomas consta de un axioma: el axioma de continuidad (o integridad).

Para mostrar la equivalencia de varias formulaciones de la continuidad de los números reales, debe probarse que si una de estas proposiciones se cumple para un cuerpo ordenado, entonces todas las demás son verdaderas.

Teorema. Sea un conjunto arbitrario linealmente ordenado . Las siguientes declaraciones son equivalentes: ${\matemáticas{R}}$

Cualesquiera conjuntos no vacíos y son tales que para cualesquiera dos elementos y , existe un elemento tal que para todos y , la relación se cumple $A\subconjunto {\mathsf {R}}$ $B\subconjunto {\mathsf {R}}$ $a \ en A$ $b\en B$ $a\leqslant b$ $\xi \in {\mathsf {R}}$ $a \ en A$ $b\en B$ $a\leqslant \xi \leqslant b$
Para cualquier sección existe un elemento que produce esta sección ${\matemáticas{R}}$
Todo conjunto no vacío acotado arriba tiene un supremo $A\subconjunto {\mathsf {R}}$
Todo conjunto no vacío acotado por debajo tiene un ínfimo $A\subconjunto {\mathsf {R}}$

Como puede verse a partir de este teorema, estas cuatro proposiciones solo usan lo que ha introducido la relación de orden lineal y no usan la estructura de campo. Así, cada uno de ellos expresa una propiedad como un conjunto linealmente ordenado. Esta propiedad (de un conjunto ordenado linealmente arbitrario, no necesariamente un conjunto de números reales) se denomina continuidad o integridad, según Dedekind . ${\matemáticas{R}}$ ${\matemáticas{R}}$

Probar la equivalencia de otras oraciones ya requiere una estructura de campo.

Teorema. Sea un campo ordenado arbitrario. Las siguientes oraciones son equivalentes: ${\matemáticas{R}}$

${\matemáticas{R}}$ (como un conjunto ordenado linealmente) es Dedekind completo
Porque se cumple el principio de Arquímedes ${\matemáticas{R}}$ y el principio de los segmentos anidados
Porque se cumple el principio de Heine-Borel ${\matemáticas{R}}$
Porque se cumple el principio de Bolzano-Weierstrass ${\matemáticas{R}}$

Comentario. Como puede verse en el teorema, el principio de los segmentos anidados en sí mismo no es equivalente al principio de continuidad de Dedekind. El principio de continuidad de Dedekind implica el principio de segmentos anidados, sin embargo, lo contrario requiere que se requiera adicionalmente que el campo ordenado satisfaga el axioma de Arquímedes . ${\matemáticas{R}}$

La demostración de los teoremas anteriores se puede encontrar en los libros de la bibliografía que se da a continuación.

Notas

↑ Zorich, V. A. Análisis matemático. Parte I. - Ed. 4º, corregido.. - M. : "MTsNMO", 2002. - S. 43.
↑ Por ejemplo, en la definición axiomática de un número real, el principio de continuidad de Dedekind está incluido en el número de axiomas, y en la definición constructiva de un número real usando secciones de Dedekind, la misma declaración ya es un teorema - ver, por ejemplo , Fikhtengolts, G. M. Fundamentos del análisis matemático. - 7ª ed. - M. : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .
↑ Kudryavtsev, L. D. Curso de análisis matemático. - 5ª ed. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 38.
↑ Kudryavtsev, L. D. Curso de análisis matemático. - 5ª ed. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.
↑ Zorich, V. A. Análisis matemático. Parte I. - Ed. 4º, corregido.. - M. : "MTsNMO", 2002. - S. 81.
↑ Dedekind, R. Continuidad y números irracionales = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4ª edición revisada. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.

Literatura

Kudryavtsev, L. D. Curso de Análisis Matemático. - 5ª ed. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Fikhtengol'ts, G. M. Fundamentos del análisis matemático. - 7ª ed. - M. : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .
Dedekind, R. Continuidad y números irracionales = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4ª edición revisada. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.
Zorich, V. A. Análisis matemático. Parte I. - Ed. 4º, corregido.. - M. : "MTsNMO", 2002. - 657 p. — ISBN 5-94057-056-9 .
Continuidad de funciones y dominios numéricos: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - 3ra ed. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 p.