Teorema de brun

El teorema de Brun establece que la suma de los recíprocos de los gemelos (pares de números primos que difieren solo en 2) converge a un valor finito conocido como la constante de Brun , que se denota como B 2 (secuencia A065421 en la OEIS ). El teorema de Brun fue demostrado por Viggo Brun en 1919 y tiene un significado histórico para los métodos de cribado .

Límites asintóticos para números gemelos

La convergencia de la suma de recíprocos a números gemelos se deriva de la acotación de la densidad de la secuencia de números gemelos. Denotemos el número de primos para los que p + 2 también es primo (es decir , es el número de gemelos que no excede x ). Entonces para tenemos $\pi _{2}(x)$ $p\leqslant x$ $\pi _{2}(x)$ ${\ estilo de visualización x \ geqslant 3}$

\pi _{2}(x)=O\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right).

Es decir, los números gemelos son más raros que los números primos por casi un factor logarítmico. De esta restricción se sigue que la suma de los recíprocos de los gemelos converge, o, en otras palabras, los gemelos forman un pequeño conjunto . monto explícito

\sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left(({\frac {1}{p))+{\frac {1}{p +2}}}\derecha)}=\izquierda({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\derecha)+\izquierda({{\frac {1} {5}}+{\frac {1}{7}}}\derecha)+\izquierda({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\derecha)+ \cdots

tiene un número finito de términos o tiene un número infinito de términos pero converge a un valor conocido como la constante de Brun.

El hecho de que la suma de los recíprocos de los números primos diverja implica que hay infinitos números primos. Dado que la suma de los recíprocos de los números gemelos converge, es imposible concluir a partir de este resultado que hay infinitos números gemelos. La constante de Brun es irracional solo en el caso de un número infinito de gemelos.

Puntuaciones numéricas

Al calcular números gemelos hasta 10 14 (y encontrar un error Pentium FDIV en el camino ), Thomas R. Nicely estimó heurísticamente que la constante de Brun era aproximadamente 1.902160578 [1] . Muy bien extendió el cálculo a 1.6⋅10 15 el 18 de enero de 2010, pero no fue el cálculo más grande de este tipo.

En 2002, Pascal Seba y Patrick Demichel usaron todos los números gemelos hasta 10 16 y obtuvieron la estimación [2]

B2 ≈ 1,902160583104 .

La estimación se basa en una estimación de la suma de 1.830484424658... para números gemelos menores que 10 16 . Dominic Clive mostró (en un resumen no publicado) que B 2 < 2.1754 bajo el supuesto de que la hipótesis de Riemann extendida [3] es verdadera .

También hay una constante de Brun para cuatrillizos gemelos . Un cuatrillizo primo es un par de dos gemelos primos separados por una distancia de 4 (la distancia más pequeña posible). Varios cuatrillizos - (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). La constante de Brun para cuatrillizos, denominada B 4 , es la suma de los recíprocos de todos los cuatrillizos:

B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13} }\derecha)+\izquierda({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19} }\derecha)+\izquierda({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109} }\right)+\cpuntos

Y esta cantidad es

B 4 \u003d 0.87058 83800 ± 0.00000 00005, el error tiene un nivel de confianza del 99% (según Nicely) [4] .

Esta constante no debe confundirse con la constante de Brun para primos relacionados , pares de primos de la forma ( p , p + 4), ya que esta constante también se escribe como B 4 .

Otros resultados

Sea (secuencia A005597 en OEIS ) una constante de primos gemelos . Hay una hipótesis de que $C_{2}=0.6601\ldots$

\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.

En particular,

{\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon){\frac {x}{(\log x)^{2))))

para todos y cada uno suficientemente grande x . $\varepsilon >0$

Muchos de los casos especiales mencionados anteriormente han sido probados. Recientemente, Jie Wu demostró que para x suficientemente grande ,

{\displaystyle \pi _{2}(x)<4.5{\frac {x}{(\log x)^{2))))

donde 4.5 corresponde al caso anterior. ${\ estilo de visualización \ varepsilon \ aproximadamente 3,18}$

En la cultura popular

Los números constantes de Brun se usaron en una oferta de $1,902,160,540 en la subasta de patentes de Nortel . La aplicación fue publicada por Google y fue una de las tres aplicaciones de Google basadas en constantes matemáticas [5] .

Véase también

Notas

↑ Muy bien, Thomas R. Enumeración hasta 1,6*10^15 de los primos gemelos y la constante de Brun (enlace no disponible) . Algunos resultados de la investigación computacional en números primos (teoría de números computacionales) (18 de enero de 2010). Consultado el 16 de febrero de 2010. Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2013. (indefinido)
↑ Sebah, Pascual; Gourdon, Xavier Introducción a los primos gemelos y el cálculo constante de Brun . Consultado el 5 de enero de 2018. Archivado desde el original el 6 de enero de 2018. (indefinido)
↑ Klyve, Dominic Límites explícitos en números primos gemelos y la constante de Brun . Consultado el 13 de mayo de 2015. Archivado desde el original el 18 de mayo de 2015. (indefinido)
↑ Muy bien, Thomas R. Enumeration to 1.6⋅10 15 of the prime quadrillets (link not available) . Algunos resultados de la investigación computacional en números primos (teoría de números computacionales) (26 de agosto de 2008). Consultado el 9 de marzo de 2009. Archivado desde el original el 30 de diciembre de 2008. (indefinido)
↑ Damuni, Nadia. Dealtalk: oferta de Google "pi" para las patentes de Nortel y perdidas (enlace no disponible) . Reuters (1 de julio de 2011). Consultado el 6 de julio de 2011. Archivado desde el original el 3 de julio de 2011. (indefinido)

Literatura

Vigo Brown . Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare // Archivo para Mathematik og Naturvidenskab. - 1915. - T. B34 , núm. 8 _
Vigo Brown . La série 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+ ..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie (Fr) // Bulletin des Sciences Mathématiques. - 1919. - T. 43 . — S. 100–104, 124–128 .
Alina Carmen Cojocaru, M. Ram Murty. Una introducción a los métodos de cribado y sus aplicaciones. - Cambridge University Press , 2005. - V. 66. - S. 73-74. - (Textos para estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres). — ISBN 0-521-61275-6 .
Elementare Zahlentheorie. - Leipzig, Alemania: Hirzel, 1927. Reimpreso en Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., 1990.
William J. LeVeque. Fundamentos de Teoría de Números . - Ciudad de Nueva York: Dover Publishing, 1996. - Pág. 1-288 . - ISBN 0-486-68906-9 . Contiene una demostración más moderna.
La doble criba de Wu J. Chen, la conjetura de Goldbach y el problema de los primos gemelos // Acta Arithmetica. - 2004. - T. 114 , núm. 3 . — S. 215–273 . -doi : 10.4064 / aa114-3-2 . -arXiv : 0705.1652 . _
VI Zenkin. Distribución de números primos. Métodos elementales. Kaliningrado, 2008.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Brun's Constant (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Brun's Theorem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
La constante de Brun (inglés) en el sitio web de PlanetMath .
Sebah, Pascal y Xavier Gourdon, Introducción a los números primos gemelos y el cálculo constante de Brun , 2002. Un examen detallado moderno.
Artículo de Wolf sobre sumas tipo Brun