Números gemelos

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Los números gemelos ( primos apareados ) son pares de primos que difieren en 2.

Información general

Todos los pares de números gemelos, excepto (3, 5), tienen la forma ya que los números con otros residuos módulo 6 son divisibles por 2 o 3. Si también tenemos en cuenta la divisibilidad por 5, resulta que todos los pares de los gemelos, excepto los dos primeros, tienen la forma o . Para cualquier número entero , un par es un par gemelo si y solo si es divisible por (una consecuencia del teorema de Wilson ). $6pm\pm 1,$ ${\ estilo de visualización 30n \ pm 1}$ $30n+12pm 1$ $30n+18\pm 1$ ${\ estilo de visualización m \ geqslant 2}$ ${\ estilo de visualización (m, m + 2)}$ $4[(m-1)!+1]+m$ ${\ estilo de visualización m (m + 2)}$

Primeros gemelos [1] :

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101 , 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241 ), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857 , 859), (881, 883)

Los primos gemelos más grandes conocidos son los números [2] . Fueron encontrados en septiembre de 2016 como parte del proyecto informático voluntario PrimeGrid [3] [4] . $2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1$

Se supone que hay infinitos pares de este tipo, pero esto no ha sido probado. Por la primera conjetura de Hardy-Littlewood número de de gemelos primos que no excede , se aproxima asintóticamente $\pi _{2}(x)$ $X$

\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{2}}},

donde es la constante de simples-gemelos : $C_{2}$

C_{2}=\prod_{p\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2))}\right)\approx 0.6601618158468695739278121100145\ldots

[5]

Historia

La hipótesis de la existencia de un número infinito de números gemelos ha estado abierta durante muchos años. En 1849, de Polignac avanzó una conjetura más general (la conjetura de Polignac ): para cualquier natural hay un número infinito de tales pares de números primos y que . $k$ $pags$ ${\ estilo de visualización p',}$ $pp'=2k$

El 17 de abril de 2013, Ethan Zhang presentó una prueba de que hay infinitos pares de números primos que difieren en no más de 70 millones. El trabajo fue aceptado en Annals of Mathematics en mayo de 2013. El 30 de mayo de 2013, el matemático australiano Scott Morrison anunció que la puntuación se había rebajado a 59 470 640 [6] . Literalmente, unos días después, el matemático australiano, ganador de la Medalla Fields, Terence Tao , demostró que el límite se puede reducir en un orden de magnitud, a 4.982.086 [6] . Posteriormente, sugirió que el proyecto Polymath trabaje en conjunto para optimizar el borde.

En noviembre de 2013, el matemático británico James Maynard , de 27 años, aplicó un algoritmo desarrollado en 2005 por Daniel Goldston, Janos Pints y Sem Yildirim llamado GPY (abreviatura de las primeras letras de los apellidos), y demostró que hay infinitos vecinos. primos que se encuentran a una distancia de no más de 600 entre sí. El día del lanzamiento de la preimpresión de la obra de James Maynard, Terence Tao publicó un post en su blog personal con una propuesta para lanzar un nuevo proyecto, polymath8b, y una semana después la puntuación se redujo a 576, y el 6 de enero 2014 a 270. El mejor resultado científicamente probado se logró en abril de 2014 Pace Nielsen de la Universidad Brigham Young en Utah, 246 [7] [6] .

Asumiendo la validez de la hipótesis de Elliot-Halberstam y su generalización, la puntuación puede reducirse a 12 y 6, respectivamente [8] .

Teorema de Brun

Euler también descubrió ( 1740 ) que una serie de recíprocos de números primos diverge:

{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+\dots =\infty ,

lo que significa que los números primos son más comunes que los cuadrados. El matemático noruego Viggo Brun demostró (1919) que la serie de recíprocos para pares de gemelos también converge: $\pi _{2}(x)\ll {\frac {x}{(\ln x)^{2))},$

B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+ {\frac {1}{7}}\derecha)+\izquierda({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\derecha)+\izquierda({\frac {1 {17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\ldots \approx 1.902160583104.

Esto significa que si hay infinitos gemelos simples, todavía son bastante raros en la serie natural. Posteriormente se probó la convergencia de una serie similar para maclas simples generalizadas.

El valor se llama constante de Brun para gemelos primos. $B_{2}\aprox. 1,902160583104$

Listas

Los gemelos simples más grandes conocidos son:

Número	Número de lugares decimales
$2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1$	388342
$3756801695685\cdot 2^{{666669}}\pm 1$	200700
$65516468355\cdot 2^{{333333}}\pm 1$	100355
$70965694293\cdot 2^{200006}\pm 1$	60219
$66444866235\cdot 2^{200003}\pm 1$	60218
$4884940623\cdot 2^{198800}\pm 1$	59855
$2003663613\cdot 2^{{195000}}\pm 1$	58711
$38529154785\cdot 2^{173250}\pm 1$	52165
$194772106074315\cdot 2^{171960}\pm 1$	51780
$100314512544015\cdot 2^{171960}\pm 1$	51780

Primos triples

Este es un triple de diferentes números primos, la diferencia entre el mayor y el menor de los cuales es mínima. Los números primos más pequeños que cumplen la condición dada son - (2, 3, 5) y (3, 5, 7). Sin embargo, además en todos los demás triples, la diferencia entre el miembro más grande y el más pequeño es igual a seis y no puede ser menor. Es decir, para generalizar, un triplete es un triplete de números primos (2, 3, 5), (3, 5, 7), o ${\ estilo de visualización (p, p + 2, p + 6)}$ ${\ estilo de visualización (p, p + 4, p + 6).}$

El primer triplete es primo [9] :

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41) , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317 ), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

A partir de 2018, los triples primos más grandes conocidos son , donde (16737 dígitos, abril de 2013 [10] ). ${\ estilo de visualización (p, p + 4, p + 6)}$ $p=6521953289619\veces 2^{55555}-5$

Primeros cuatrillizos

Cuádruples de números primos de la forma o gemelos dobles , o cuatrillizos [11] : ${\ estilo de visualización (p, p + 2, p + 6, p + 8),}$

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259) (5651, 5653, 5657, 5659), ( 9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649) (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 1809), 18091 , 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429) (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, 25309), …

Módulo 30 , todos los cuatrillizos, excepto el primero, tienen la forma (11, 13, 17, 19).

Módulo 210 , todos los cuatrillizos, excepto el primero, tienen la forma (11, 13, 17, 19), o (101, 103, 107, 109), o (191, 193, 197, 199).

Sextillizos de números primos

Seis de primos de la forma [12] : ${\ estilo de visualización (p, p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p + 16)}$

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793)…

Módulo 210 , todos los sextillizos, excepto el primero, tienen la forma (97, 101, 103, 107, 109, 113).

Véase también

Notas

↑ Secuencias A001359 , A006512 en OEIS
↑ Los números primos más grandes conocidos
↑ Caldwell, Chris K. La base de datos principal: 2996863034895*2^1290000-1 . (indefinido)
↑ ¡Encontrados primos gemelos récord mundial! (enlace no disponible) . Fecha de acceso: 6 de enero de 2017. Archivado desde el original el 4 de enero de 2018. (indefinido)
↑ La secuencia OEIS A005597 es la expansión decimal de la constante prima gemela.
↑ 1 2 3 Serguéi Nemalevich. Hermano, ¿estás bien? . Publicación en línea N+1 (6 de noviembre de 2015). Fecha de acceso: 10 de noviembre de 2015. (Ruso)
↑ Brechas acotadas entre números primos . erudito. Consultado: 27 de marzo de 2014. (indefinido)
↑ http://arxiv.org/abs/1407.4897 y http://arxiv.org/pdf/1407.4897v2.pdf
↑ Secuencias OEIS A007529 , A098414 , A098415 _
↑ Peter Kaiser, Srsieve, LLR, OpenPFGW
↑ Secuencias OEIS A007530 , A136720 , A136721 , A090258 _
↑ Secuencia A022008 en OEIS

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)

Hipótesis sobre los números primos
Hipótesis	Hardy - Littlewood Hace - Jugi andrita Artina Hipótesis de Bateman-Horn Brocard Bunyakovsky hipótesis china Kramer dixon Elliot Halberstam Firuzbekht Gilbraith grimm Problemas de Landau Goldbach Leyenda Números gemelos Leyenda constante limón Mersenne Opperman Polignac Poyí Redmond — Sunya Hipótesis H Waringa

Clases de números primos
Según la fórmula	Granja (2 2 n + 1) Mersenne (2 p ? 1) Doble Mersenne (2 2 p ? 1 ? 1) Wagstaff ( 2p + 1)/3 Prota ( k •2 n + 1) Factoriales ( n ! ± 1) Primordial ( p n # ± 1) Euclides ( p n # + 1) Pitágoras ( 4n + 1) Pierpont ( 2u • 3v + 1) Cuartana ( x 4 + y 4 ) Solinas (2 a ± 2 b ± 1) Cullen ( n • 2 n + 1) Woodall ( n •2 n ? 1) Cúbico ( x 3 ? y 3 )/( x ? y ) Carola (2 n ? 1) 2 ? 2 Kenia (2 n + 1) 2 ? 2 Leyland ( x y + y x ) Sabita (3•2 n ? 1) Molinos (piso( A 3 n ))
Secuencias	fibonacci Lucas pela Newman-Shanks-Williams Perrina Dividir un número Bella • Motzkina
Por propiedades	Viferiha par Walla - Sunya - Sunya Wolstenholm wilson Contento Fortunovs Ramanujan pillai Regular Fuerte Popa Supersingular (curvas elípticas) Supersingular (teoría monstruosa sin sentido) Bueno Supersimple Higgs cociente alto
Depende del sistema numérico	Satisfecho diedro palíndromo Eotsorp Retribuciones (10 n ? 1)/9 permutacional Anillo truncado estrobogramas Mínimo Débilmente simple completo-repetido Único primitivo engendrado por sí mismo Smarandsha - Wellena
Modelos	Géminis ( pag , pag + 2) Una cadena de gemelos ( n ? 1, n + 1, 2 n ? 1, 2 n + 1, ...) Triple de primos ( p , p + 2 o p + 4, p + 6) Cuádruple de primos ( p , p + 2, p + 6, p + 8) k -tupla Relacionado ( p , p + 4) Diferente por 6 ( p , p + 6) Chena • Sophie Germain ( pág , 2 pag + 1) Cadenas de Cunningham ( p , 2 p ± 1, …) Seguro ( pag , ( pag ? 1)/2) Progresiones ( p + a•n , n = 0, 1, …) Equilibrado (consecutivos p ? n , p , p + n )
Medir	Titanic (1.000+ caracteres) Gigante (10.000+) Megasencillo (1.000.000+) El más grande conocido
Números complejos	primos de Eisenstein primos gaussianos
Números compuestos	pseudosimple casi simple semisimple intersimple
Temas relacionados	probablemente simple Industrial ilegal Fórmula de números primos Intervalos entre números primos