Teorema de Vinogradov

En teoría de números, el teorema de Vinogradov es un resultado del cual se deduce que cualquier entero impar suficientemente grande puede escribirse como la suma de tres números primos . Esta es una forma más débil de la conjetura débil de Goldbach , que implica la existencia de tal representación para todos los enteros impares mayores que cinco.

El teorema lleva el nombre de Ivan Matveevich Vinogradov , quien lo demostró en la década de 1930. Hardy y Littlewood habían demostrado previamente que este resultado se deriva de la hipótesis generalizada de Riemann , y Vinogradov pudo eliminar esta suposición. La presentación completa del teorema de Vinogradov proporciona estimaciones asintóticas del número de representaciones de un entero impar como suma de tres números primos. El concepto de "lo suficientemente grande" estaba mal definido en el trabajo original de Vinogradov, pero en 2002 se demostró que 10 1346 era lo suficientemente grande. Además, los números anteriores $10^{20}$ han sido probados por métodos de fuerza bruta, dejando así solo un número finito de casos para probar antes de probar o refutar la extraña conjetura de Goldbach.

Enunciado del teorema de Vinogradov

Sea A un número real positivo. Después

r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right),

dónde

r(N)=\sum_{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{ 3}),

usando la función de Mangoldt , y $\lambda$

G(N)=\left(\prod_{p\mid N}\left(1-{1 \over {\left(p-1\right)}^{2}}\right)\right )\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1 \over {\left(p-1\right)}^{3}}\right)\right).

Consecuencia

Si N es impar, entonces G ( N ) es aproximadamente igual a 1, por lo tanto, para todo N suficientemente grande . Demostrando que la contribución hecha a r ( N ) por las fuerzas principales correspondientes es , se puede ver que $N^{2}\ll r(N)$ $O\left(N^{3 \over 2}\log ^{2}N\right)$

N^{2}\log^{-3}N\ll

(la cantidad de formas en que N se puede escribir como la suma de tres números primos)

Esto significa, en particular, que cualquier entero impar lo suficientemente grande puede escribirse como la suma de tres números primos, lo que muestra la conjetura de Goldbach débil para todos excepto para un número finito. En 2013, Harald Helfgott demostró la débil conjetura de Goldbach para todos los casos.

Prueba de estrategia

La demostración del teorema sigue el método del círculo de Hardy-Littlewood . Determinar la suma exponencial

S(\alpha )=\sum _{n=1}^{N}\Lambda (n)e(\alpha n)

Entonces tenemos

S(\alpha )^{3}=\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}\leq N}\Lambda (n_{1})\Lambda (n_{2} )\Lambda (n_{3})e(\alpha (n_{1}+n_{2}+n_{3}))=\sum _{n\leq 3N}{\tilde {r}}(n) e(\alfa n)

donde denota el número de representaciones limitadas a las potencias principales de . Como consecuencia ${\tilde {r))$ ${\ estilo de visualización \ leq N}$

r(N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-\alpha N)\;d\alpha

Si es un número racional , entonces puede estar dado por la distribución de números primos en clases de residuos módulo . Por lo tanto, utilizando el teorema de Siegel-Walfis, podemos calcular la contribución de la integral anterior en pequeñas vecindades de puntos racionales con un denominador pequeño. El conjunto de números reales cercanos a tales puntos racionales generalmente se denomina arcos principales, el complemento forma los arcos menores. Resulta que estos intervalos dominan la integral, por lo tanto, para probar el teorema, es necesario dar un límite superior para contenido en arcos pequeños. Esta estimación es la parte más difícil de la demostración. $\alfa$ ${\frac{p}{q))$ ${\ estilo de visualización S (\ alfa)}$ $q$ ${\ estilo de visualización S (\ alfa)}$ $\alfa$

Si aceptamos la hipótesis de Riemann generalizada, el argumento utilizado para los arcos mayores se puede extender a los arcos menores. Esto fue hecho por Hardy y Littlewood en 1923. En 1937, Vinogradov dio un límite superior incondicional para . Su argumento comenzó con una definición simple de un tamiz, luego los términos resultantes se reorganizaron de formas complejas para obtener algún tipo de cancelación. En 1977, RC Vaughan encontró un argumento mucho más simple basado en lo que luego se conocería como la identidad de Vaughan. Demostró que si , entonces ${\ estilo de visualización | S (\ alfa) |}$ $|\alpha -{\frac {a}{q}}|<{\frac {1}{q^{2}}}$

|S(\alpha )|\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)\log ^{4}N

Usando el teorema de Siegel-Walfis, podemos tratar con potencias arbitrarias de , usando el teorema de aproximación de Dirichlet, que obtenemos en arcos pequeños. Por lo tanto, la integral sobre arcos pequeños se puede acotar desde arriba $q$ $\registro N$ $|S(\alpha )|\ll {\frac {N}{\log ^{A}N))$

{\frac {CN}{\log ^{A}N}}\int _{0}^{1}|S(\alpha )|^{2}\;d\alpha \ll {\frac {N^{2}}{\registro^{A-1}N}}

lo que da el término error en el teorema.

Notas

Vinogradov, Ivan Matveyevich. El Método de las Sumas Trigonométricas en la Teoría de Números. — Londres y Nueva York: Interscience, 1954.
Nathanson, Melvyn B. Teoría de números aditivos. Las bases clásicas. - Nueva York: Springer-Verlag, 1996. - vol. 164.- ISBN 0-387-94656-X . -doi : 10.1007 / 978-1-4757-3845-2 . Capítulo 8.