Teorema de Seifert-van Kampen

El teorema de Seifert-van Kampen expresa el grupo fundamental de un espacio topológico en términos de los grupos fundamentales de dos subconjuntos abiertos que cubren el espacio.

El nombre de Herbert Seifert y Egbert van Kampen .

Redacción

Sea un espacio topológico, sean dos conjuntos abiertos conexos por caminos de modo que la intersección también sea conexa por caminos, y . Arreglemos un punto . Tenga en cuenta que las inclusiones $X$ ${\ estilo de visualización V, U \ subconjunto X}$ $W=V\cap U$ $X=V\taza U$ ${\ estilo de visualización p \ en W}$

W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X

inducir homomorfismos de los correspondientes grupos fundamentales

{\ Displaystyle I \ dos puntos \ pi _ {1} (W, p) \ a \ pi _ {1} (U, p)}

, y . _

J\colon \pi_{1}(W,p)\to \pi_{1}(V,p)

{\ estilo de visualización \ pi _ {1} (U, p) \ a \ pi _ {1} (X, p)}

{\ estilo de visualización \ pi _ {1} (V, p) \ a \ pi _ {1} (X, p)}

Según el teorema de Seifert-van Kampen, estos cuatro homomorfismos definen un cuadrado de Codecartes en la categoría de grupos, es decir

\pi_{1}(X,p)=\pi_{1}(U,p)*_{\pi_{1}(W,p)}\pi_{1}(V, pags).

Notas

Si las tareas de grupos y ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} (U, p)}$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} (V, p)}$ ${\begin{alineado}\pi_{1}(U,p)&=\langle u_{1},\cdots,u_{k}\mid \alpha_{1},\cdots,\alpha _ {l}\rangle \\\pi_{1}(V,p)&=\langle v_{1},\cdots,v_{m}\mid \beta_{1},\cdots,\beta _ {n}\rangle \\\end{alineado}}$

y son generadores de los grupos , entonces

{\displaystyle w_{1},\cdots,w_{s))

{\ estilo de visualización \ pi _ {1} (W, p)}

\pi _{1}(X,p)=\left\langle u_{1},\cdots,u_{k},v_{1},\cdots,v_{m}\left|\alpha _ {1},\cdots,\alpha _{l},\beta _{1},\cdots,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1} ,\cdots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .

Consecuencias

Si la intersección es simplemente conexa , entonces $W$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} (X, p) = \ pi _ {1} (U, p) * \ pi _ {1} (V, p),}$

es decir, el grupo fundamental es isomorfo al producto libre de los grupos fundamentales y .

X

tu

V

En particular,

\pi_{1}(X_{1}\vee X_{2})=\pi_{1}(X_{1})*\pi_{1}(X_{2}),

para un montón de espacios conectados y localmente simplemente conectados y .

X_{1}\vee X_{2}

X_{1}

X_{2}

Un espacio es simplemente conexo si puede ser cubierto por dos conjuntos abiertos simplemente conexos con intersección conexa.
- Por ejemplo, una esfera se puede cubrir con dos discos y , donde y denotan los polos norte y sur, respectivamente. Tenga en cuenta que la intersección está conectada. Por lo tanto, por el teorema de Seifert-van Kampen, el grupo fundamental también es trivial. ${\ estilo de visualización X = S ^ {2}}$ ${\displaystyle U=S^{2}\barra invertida \{n\))$ $V=S^{2}\barra invertida \{s\}$ $norte$ $s$ ${\displaystyle W=V\cap U=S^{2}\barra invertida \{n,s\))$ $W$

Variaciones y generalizaciones

Hay una generalización del teorema para grupos fundamentales. Te permite trabajar en caso de que no esté conectado. $W$
La secuencia de Mayer-Vietoris es un teorema similar para contar la homología .

Enlaces

VV Prasolov. Elementos de topología combinatoria y diferencial . - M. : MTsNMO, 2004. - 352 p.
Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume . Berichte Sachs. Akád. Leipzig, Matemáticas-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
ER van Kampen. Sobre la conexión entre los grupos fundamentales de algunos espacios relacionados. Revista americana de matemáticas, vol. 55 (1933), págs. 261-267.