Plaza de Codecartes

El cuadrado de Codecartes (también cuadrado universal ) es un concepto teórico de categorías dual al concepto de cuadrado cartesiano . El cuadrado de codecartes es un caso especial del colimit .

Propiedad genérica

Sean f  : Z → X , g  : Z → Y  morfismos en la categoría C . El cuadrado de Codecartes para un par de morfismos ( f , g )  es un cuadrado conmutativo de la siguiente forma:

Además, el cuadrado de codecart es universal entre los objetos con esta propiedad. Es decir, para cualquier objeto Q con morfismos j 1 , j 2 que complementan f , g a un cuadrado conmutativo, existe un único morfismo u  : P → Q que hace que el siguiente diagrama sea conmutativo:

Un objeto con morfismos i 1 , i 2 se denomina coproducto fibroso ( foliated sum , amalgam , amalgamated sum , English pushout ).  

Como toda construcción universal, un cuadrado de Codecartes no existe necesariamente, pero si existe, se define hasta el isomorfismo.

Ejemplos

• En la categoría de conjuntos  , es la unión disjunta de X e Y , en la que se identifican elementos con una preimagen común en Z. Más precisamente, donde ~  es la relación de equivalencia más pequeña tal que i 1 ∘ f ( z ) ~ i 2 ∘ g ( z ) .

• La construcción de pegado espacial es un ejemplo de la construcción de coproductos fibrosos en la categoría de espacios topológicos . Más detalladamente, si Z  es un subespacio de Y y g  : Z → Y  es el mapeo de inclusión correspondiente , entonces uno puede "pegar" Y de X a Z usando el "mapeo de coincidencia" f  : Z → X . El espacio pegado resultante es el coproducto fibroso de X e Y.

• En la categoría de grupos abelianos , se puede hablar de un cuadrado codecartesiano como suma directa de grupos abelianos "con encolado". Es decir, si f y g  son homomorfismos con una fuente común Z , entonces un cuadrado de Codecartes es un grupo de factores de suma directa sobre el subgrupo generado por todos los elementos de la forma ( f ( z ), − g ( z )) . Aproximadamente lo mismo se puede hacer en la categoría de módulos .

Literatura

• Goldblatt R. Topoi. Análisis categórico de la lógica = Topoi. El análisis categorial de la lógica / Per. De inglés. V. N. Grishin y V. V. Shokurov, ed. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 p.
• McLane S. Capítulo 3. Construcciones y límites universales // Categorías para el matemático en activo = Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .