Espacio conectado por caminos

Un espacio linealmente conectado es un espacio topológico en el que dos puntos cualesquiera pueden estar conectados por una curva continua.

Definiciones

Considere un segmento de la línea real con la topología estándar de la línea real definida en él . Sea también un espacio topológico dado . Entonces este último se llama conexo por caminos [1] si para dos puntos cualesquiera hay una aplicación continua tal que $[0,1]\subconjunto \mathbb {R}$ $(X,{\mathcal {T}}).$ $x,y\en X$ ${\ estilo de visualización f: [0,1] \ a X}$ $f(0)=x,\;f(1)=y.$
Sea un subconjunto dado . Entonces la topología inducida en él se define naturalmente . Si el espacio es conexo por caminos, entonces el subconjunto también se llama conexo por caminos en [2] . $M\subconjunto X$ ${\mathcal {T}}_{M}$ $\mathcal{T}$ $\left(M,\;{\mathcal {T}}_{M}\right)$ $METRO$ $X$

Definiciones relacionadas

Todo subconjunto conexo por caminos de un espacio está contenido en algún subconjunto máximo conexo por caminos. Estos subconjuntos máximos conectados se denominan componentes linealmente conectados del espacio [2] . $X$ $X$
- Un espacio en el que cada componente conexo por caminos consta de un solo punto se denomina completamente desconectado por caminos (por analogía con el espacio completamente desconectado ).
Si hay una base de la topología espacial que consta de conjuntos abiertos conectados por caminos , entonces la topología espacial y el espacio mismo (en esta topología) se denominan localmente conectados por caminos [3] . $X$ $X$ $X$

Ejemplos

Una línea, un círculo, un subconjunto convexo del espacio euclidiano son ejemplos de espacios conectados por caminos [4] .
El cierre de la gráfica de una función en es un ejemplo de un espacio conexo que no es conexo por caminos. Este espacio tiene dos componentes de conectividad lineal: la gráfica de la función para x > 0 y el segmento en el eje y [5] . $\sin\tfrac1x$ $x\ge 0$ $[-1,1]$
Un pseudoarco es un ejemplo de un espacio conectado pero completamente linealmente desconectado.

Propiedades

Todo espacio conexo por caminos es conexo . Lo contrario no es cierto [1] .
Un espacio topológico finito es conexo por caminos si y solo si es conexo.
Una imagen continua de un espacio conexo por caminos es conexo por caminos [5] .
Si el espacio está conectado por caminos y , entonces los grupos de homotopía y son isomorfos , y este isomorfismo se define de forma única hasta un automorfismo interno [6] . $X$ $x,\;y\en X$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} (X, \; x)}$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} (X, \; y)}$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} (X, \; x)}$

Conectividad lineal sobre la línea real

Suponemos que , y es la topología estándar de la línea real. entonces [5] $X=\mathbb {R}$ $\mathcal{T}$

Un subconjunto es conexo por caminos si y solo si $M\subconjunto \mathbb {R}$ $\forall x,\;y\in M:(x\leqslant y)\Rightarrow {\bigl (}[x,\;y]\subset M{\bigr)},$

es decir, dos puntos cualesquiera entran en él junto con el segmento que los conecta.

Cualquier subconjunto de la línea real conectado por caminos es un intervalo finito o infinito abierto, semiabierto o cerrado: $(a\;,b),\;[a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty ,\; b),\;(-\infty ,\;b],\;(a,\;+\infty ),\;[a,\;+\infty ),(-\infty ,+\infty ).$
Un subconjunto de la recta numérica es conexo por caminos si y solo si es conexo.

Generalización

Una generalización multidimensional de una conexión lineal es -conexión (conexión en dimensión ). Se dice que un espacio está conectado en dimensión si cualquiera de los dos mapas de la esfera -dimensional en , donde , son homotópicos . En particular, -conectividad es lo mismo que conectividad lineal, y -conectividad es lo mismo que simplemente-conectividad [7] . $k$ $k$ $X$ $k$ $r$ ${\ Displaystyle S^{r}}$ $X$ $r\leqslant k$ ${\ estilo de visualización 0}$ $una$

Notas

↑ 1 2 Fomenko, Fuchs, 1989 , p. 24
↑ 1 2 Viro et al., 2012 , pág. 86.
↑ Viro et al., 2012 , pág. 229.
↑ Viro et al., 2012 , pág. 85-86.
↑ 1 2 3 Viro et al., 2012 , pág. 87.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , pág. 51.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , pág. 49.

Literatura

Fomenko, A. T. , Fuchs, D. B. Un curso de topología de homotopía. —M.:Nauka, 1989. — 528 p. —ISBN 5-02-013929-7. (Ruso)
Viro, O. Ya. , Ivanov, O. A. , Netsvetaev, N. Yu. , Kharlamov, V. M. Topología elemental. - 2ª ed., corregida.. -M.: MTSNMO, 2012. -ISBN 978-5-94057-894-9. (Ruso)