Teorema del cuerpo convexo de Minkowski

El teorema de Minkowski sobre un cuerpo convexo es uno de los teoremas de la geometría de números , que sirvió como base para separar la geometría de los números en una sección de teoría de números . Formulado por Hermann Minkowski en 1896.

Redacción

Sea un cuerpo convexo cerrado , simétrico con respecto al origen de coordenadas , espacio euclidiano bidimensional , que tiene volumen . Entonces hay un punto entero diferente de . $S$ $O$ $norte$ $\geqslant 2^{n}$ $S$ $O$

Prueba

A continuación se muestra la demostración del teorema de Minkowski para el caso particular L = ℤ 2 . Se puede generalizar a dimensiones arbitrarias.

Considere el mapeo

f:S\to \mathbb {R} ^{2}\qquad (x,y)\mapsto (x{\bmod {2}},y{\bmod {2}})

Intuitivamente, este mapeo corta el cuerpo en cuadrados de 2 por 2, que se apilan uno encima del otro. Obviamente, el área f ( S ) ≤ 4 . Si el mapeo f fuera inyectivo , entonces las partes de S que fueron recortadas por cuadrados encajarían juntas sin superponerse. Dado que f conserva las áreas locales de los fragmentos, esta propiedad de no intersección haría que el mapa f conservara toda la S , de modo que el área de f ( S ) sería la misma que la de S , numéricamente mayor que 4. Si este no es el caso, entonces f no es inyectiva, y por lo tanto f ( p 1 ) = f ( p 2 ) para algún par de puntos p 1 , p 2 ∈ S . Además, por la definición de f , sabemos que p 2 = p 1 + (2 i , 2 j ) para algún número entero i y j , donde al menos uno de ellos es distinto de cero.

Entonces, como S es simétrico con respecto al origen, − p 1 también está incluido en S . Dado que S es convexo, el segmento entre − p 1 y p 2 se encuentra completamente en S . El medio de esta sección

{\tfrac {1}{2}}\left(-p_{1}+p_{2}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(-p_{1}+p_ {1}+(2i,2j)\derecha)=(i,j)

se encuentra en s. ( i , j ) es un punto entero y no es el origen ( i y j no pueden ser ambos cero). Por lo tanto, hemos encontrado el punto deseado.

Variaciones y generalizaciones

Una generalización del teorema de Minkowski a conjuntos no convexos es el teorema de Blichfeldt .
En 2007, Nikolai Durov demostró que el teorema de Minkowski puede percibirse como una variante del teorema de Riemann-Roch para el espectro completo [1] $\matemáticas {Z}$ .

Notas

↑ Nuevo enfoque de la geometría de Arakelov . Consultado el 20 de agosto de 2014. Archivado desde el original el 26 de marzo de 2015. (indefinido)