Teorema del espacio del cociente de Moore

El teorema del espacio cociente de Moore, una afirmación clásica de la topología bidimensional, da una condición suficiente de que el espacio cociente de una esfera es homeomorfo a una esfera bidimensional.

Probado por Robert Moore en 1925 .

Formulaciones

Sea un mapeo continuo sobreyectivo de una esfera bidimensional en un espacio de Hausdorff . Suponga que para cualquier punto la preimagen , así como su complemento, están conectados . Entonces es homeomorfo , además, el mapeo es el límite de los homeomorfismos . $f\dos puntos \mathbb {S} ^{2}\to X$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {2}}$ $X$ $x\en X$ ${\ estilo de visualización f ^ {-1} \ {x \}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\barra invertida f^{-1}\{x\))$ $X$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {2}}$ $f\dos puntos \mathbb {S} ^{2}\to X$ $f_{n}\dos puntos \mathbb {S} ^{2}\to X$

Notas

Se da una formulación equivalente del teorema en el lenguaje de la relación de equivalencia en . El mapeo define una relación de equivalencia en , definida como ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {2}}$ $f\dos puntos \mathbb {S} ^{2}\to X$ $\sim$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {2}}$

x\sim y\iff f(x)=f(y).

Las clases de equivalencia forman una familia semicontinua de conjuntos cerrados. Es decir, si , y para cualquier , entonces . ${\displaystyle [x]=\{\,y\in \mathbb {S} ^{2}\mid x\sim y\,\))$ ${\ estilo de visualización x_ {n} \ a x}$ $y_{n}\to y$ ${\displaystyle x_{n}\sim y_{n))$ $norte$ $x \ sim y$

Si es una relación de equivalencia con clases de equivalencia cerradas semicontinuas tales y para cualquier conjunto y son conexas , entonces el espacio del cociente es homeomorfo . $\sim$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {2}}$ $X$ $[X]$ $\mathbb {S} ^{2}\barra invertida [x]$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {2}/\ sim}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {2}}$

Variaciones y generalizaciones

En dimensiones superiores necesarias para la existencia de un homeomorfismo cercano, la sobreyección de una variedad en un espacio de Hausdorff debe ser celular . Esto significa que para cualquier punto y cualquier conjunto abierto que contenga una preimagen , se puede encontrar un conjunto cerrado , homeomorfo a una bola, tal que . $f\dos puntos M\to X$ $METRO$ $X$ $x\en X$ $tu$ ${\ estilo de visualización f ^ {-1} \ {x \}}$ $B$ $f^{-1}\{x\}\subconjunto B\subconjunto U$

Literatura

RL Moore. Acerca de las colecciones semicontinuas superiores de continuos (inglés) // Trans. amer Matemáticas. Soc.. - 1925. - Vol. 25 . — pág. 416–428 .
Daverman, Robert J. Descomposiciones de variedades. - Orlando, FL: Academic Press, Inc., 1986. - xii + 317 p. — (Matemática Pura y Aplicada, 124). - ISBN 978-0-8218-4372-7 .