Teorema de Mason-Stothers

El teorema de Mason-Stothers es un análogo de la hipótesis abc para polinomios . El nombre de Stothers, quien lo publicó en 1981, [1] y Mason, quien lo redescubrió a partir de entonces. [2]

Redacción

Sean polinomios coprimos por pares sobre el cuerpo tales que al menos uno de ellos tiene una derivada distinta de cero. Después ${\ estilo de visualización a (t), b (t), c (t)}$ ${\ estilo de visualización a + b = c}$

\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leqslant \deg(\operatorname {rad} (abc))-1.

Aquí está el radical del polinomio, este es el producto de varios factores irreducibles . Para campos algebraicamente cerrados, el radical de un polinomio es un polinomio de grado mínimo con el mismo conjunto de raíces que y ; en este caso es simplemente el número de raíces distintas . [3] ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {rad} f}$ $F$ $F$ $F$ ${\ estilo de visualización \ grados \ nombre del operador {rad} f}$ $F$

Ejemplos

Sobre campos de característica 0, la condición de que al menos una derivada sea distinta de cero es equivalente al hecho de que al menos un polinomio no sea una constante. Por encima de los campos característicos, no es suficiente exigir que todos sean no constantes. Por ejemplo, la identidad da un ejemplo donde , y . ${\ estilo de visualización a', b', c'}$ $p>0$ $a B C$ ${\ estilo de visualización 1+t^{p}=(1+t)^{p))$ $\max\{\grado(a),\grado(b),\grado(c)\}=p$ ${\ estilo de visualización \ grados (\ nombre del operador {rad} (abc)) = 2}$
Si tomamos , obtenemos un ejemplo en el que se logra la igualdad en el teorema de Mason-Stothers, lo que muestra que la estimación en el teorema es, en cierto sentido, inmejorable. ${\displaystyle a(t)=t^{n},c(t)=(t+1)^{n))$
Una consecuencia simple del teorema de Mason-Stothers es un análogo del último teorema de Fermat para los campos de función: si para las características coprimas por pares sobre un campo que no divide , y , entonces al menos una de las constantes cero o todas. ${\displaystyle a(t)^{n}+b(t)^{n}=c(t)^{n))$ $a B C$ $norte$ $norte > 2$ $a B C$

Prueba

De la condición se sigue que y . Denotemos . De ello se deduce que se divide . Dado que todos los GCD son coprimos por pares, su producto se divide . $a+b=c$ $b'a-ba'=c'a-a'c$ $a'b-ab'=c'b-cb'$ $W=a'b-ab'$ ${\text{gcd}}(a,a'),{\text{gcd}}(b,b'),{\text{gcd}}(c,c')$ $W$ $W$

También está claro que . Por el contrario: si , entonces , entonces divide , por lo tanto (porque para cualquier no constante ). Del mismo modo, obtenemos que , que contradice la condición. ${\ estilo de visualización W \ neq 0}$ ${\ estilo de visualización W = 0}$ $a'b=ab'$ $a$ $a'$ ${\ estilo de visualización a' = 0}$ ${\ estilo de visualización \ grado a> \ grado a'}$ $a$ ${\ estilo de visualización b'=0,c'=0}$

De ambas afirmaciones obtenemos que

\deg {\text{gcd}}(a,a')+\deg {\text{gcd}}(b,b')+\deg {\text{gcd}}(c,c') \leqslant \deg W

Por definición , tenemos $W$ $\deg W\leqslant \deg a+\deg b-1$

\deg {\text{gcd}}(a,a')+\deg {\text{gcd}}(b,b')+\deg {\text{gcd}}(c,c') \leqslant \deg a+\deg b-1

Para cualquier polinomio , es cierto que . Sustituyendo aquí y sustituyendo en la desigualdad anterior, obtenemos $PAGS$ $\deg P-\deg \operatorname {rad} (P)\leqslant \deg {\text{gcd}}(P,P')$ ${\ Displaystyle PAG = a, b, c}$

\deg abc-\deg(\operatorname {rad} (a)\operatorname {rad} (b)\operatorname {rad} (c))\leqslant \deg a+\deg b-1

lo conseguimos

\deg c\leqslant \deg \operatorname {rad} (abc)-1

que es lo que se requería.

Snyder dio una demostración elemental del teorema de Mason-Stothers. [cuatro]

Generalizaciones

Hay una generalización natural en la que el anillo polinomial se reemplaza por campos de funciones unidimensionales .

Sea un campo algebraicamente cerrado de característica 0, sea una curva proyectiva suave de género , y sean funciones racionales en tal que , y sea un conjunto de puntos en que contenga todos los ceros y polos de . Después $k$ ${\ estilo de visualización C/k}$ $gramo$ ${\ estilo de visualización a, b \ en k (C)}$ $C$ ${\ estilo de visualización a + b = 1}$ $S$ ${\ estilo de visualización C (k)}$ $a, b$

\max\{\deg(a),\deg(b)\}\leqslant \max\{|S|+2g-2,0\}.

Aquí el grado de la función a es el grado del mapeo inducido desde a . ${\ estilo de visualización k (C)}$ $C$ $P^{1}$

Esto fue probado por Mason, y Silverman publicó una prueba alternativa más corta el mismo año. [5]

Hay una generalización adicional dada por Voloch [6] e independientemente por Brownawell y Musser [7] que da un límite superior para las ecuaciones para las cuales es cierto que no hay subconjuntos que sean -linealmente independientes. Bajo estos supuestos, demostraron que $a_{1}+\ldots +a_{n}=1$ $ai}$ $k$

\max\{\deg(a_{1}),\ldots,\deg(a_{n})\}\leqslant {\frac {1}{2}}n(n-1)\max\ {|S|+2g-2,0\}.

Enlaces

↑ Stothers, W. W. (1981), Polynomial identities and hauptmoduln , Quarterly J. Math. Oxford , 2 Vol. 32: 349–370 , DOI 10.1093/qmath/32.3.349 .
↑ Mason, RC (1984), Ecuaciones diofánticas sobre campos funcionales , vol. 96, London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press .
↑ Lang, Serge . Álgebra (indefinido) . - Nueva York, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , 2002. - Pág . 194 . — ISBN 0-387-95385-X .
↑ Snyder, Noah (2000), Una prueba alternativa del teorema de Mason , Elemente der Mathematik Vol . 55 (3): 93–94, doi : 10.1007/s000170050074 , < http://cr.yp.to/bib/2000/ snyder.pdf > Archivado el 6 de septiembre de 2015 en Wayback Machine .
↑ Silverman, JH (1984), La ecuación de unidades S sobre campos de funciones, Proc. Camb. Filosofía soc. Tomo 95: 3–4 .
↑ Voloch, JF (1985), Ecuaciones diagonales sobre campos de funciones, Bol. soc. Brasil. Estera. T. 16:29–39 .
↑ Brownawell, W. D. & Masser, D. W. (1986), Vanishing sums in function functions, Math. proc. Filosofía de Cambridge. soc. T. 100: 427–434 .

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. Mason's Theorem (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Teorema de Mason-Stothers y la conjetura ABC