Teorema de Nash-Kuiper

El teorema de Nash-Kuiper establece que cualquier incrustación (o inmersión ) corta y suave de una variedad riemanniana -dimensional en un espacio euclidiano puede aproximarse mediante una incrustación (o inmersión) isométrica -suave, respectivamente. $norte$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q))$ ${\ estilo de visualización q> n}$ $c ^ 1$

Redacción

El término "incrustación/inmersión isométrica" aquí significa incrustación/inmersión, respectivamente, que preserva las longitudes de las curvas.

Con más precisión:

Sea una variedad de Riemann y sea una incrustación (o inmersión ) corta y suave en el espacio euclidiano y . Entonces para cualquiera existe una incrustación (o, respectivamente, una inmersión) tal que $(M, g)$ ${\displaystyle f\dos puntos M^{n}\to \mathbb {R} ^{q))$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{q))$ ${\ estilo de visualización q> n}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon > 0}$ ${\displaystyle f_{\varepsilon }\dos puntos M^{n}\to \mathbb {R} ^{q))$

${\ Displaystyle f_ {\ varepsilon}}$ es suave, $c ^ 1$
(isométrico) para cualesquiera dos vectores tangentes en el espacio tangente de un punto tenemos: ${\ estilo de visualización v, w \ en T_ {x} (M)}$ $x\en M$

g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle .

( -proximidad) para todos . $C^{0}$ $|f(x)-f_{\varepsilon}(x)|<\varepsilon$ $x\en M$

Este resultado es muy contrario a la intuición . En particular, se deduce de ello que cualquier superficie orientada cerrada puede incrustarse isométricamente en una bola tridimensional arbitrariamente pequeña. De la fórmula de Gauss se deduce que tal incrustación es imposible en la clase -incrustación. $c ^ 1$ $C^{2}$

Historia

Nash demostró el teorema bajo la suposición y Kuiper lo llevó a la forma actual con la ayuda de un truco simple. ${\ estilo de visualización q> n + 1}$ ${\ estilo de visualización q> n}$

Variaciones de generalización

Teorema de Nash sobre incrustaciones regulares
El teorema del pliegue de Gromov establece que para cualquier aplicación corta desde una variedad riemanniana bidimensional hasta existe una aplicación arbitrariamente cercana (no suave) que conserva las longitudes de las curvas. $norte$ $\mathbb{R} ^{n}$

Literatura

N. H. Kuiper . En C 1 -embebimientos isométricos // Matemáticas . - 1957. - T. 1 , N º 2 . - S. 17-28 . (Ruso)

J. Nash . C 1 -embebimientos isométricos // Matemáticas . - 1957. - T. 1 , N º 2 . - Pág. 3-16 . (Ruso)