Teorema del campo vectorial de Poincaré

El teorema del campo vectorial de Poincaré (también conocido como el teorema de Poincaré-Hopf y el teorema del índice ) es un teorema clásico en topología diferencial y la teoría de sistemas dinámicos ; Generalización y refinamiento del teorema del peinado del erizo .

De él, en particular, se sigue que un campo vectorial suave sin puntos singulares no existe en una esfera bidimensional, pero puede existir en un toro bidimensional .

Redacción

Deje que un campo vectorial suave se defina en una variedad cerrada suave , que tiene un número finito de puntos singulares aislados . Después $METRO$ $V$ $A_{1},A_{2},\puntos,A_{n}$

\sum _{{i=1}}^{{n}}J_{{A_{i}}}(V)=\chi (M),

aquí está el índice del punto con respecto al campo y el número es la característica de Euler de la variedad . $J_{{A_{i}}}(V)$ $Ai}$ $V$ $\ji (M)$ $METRO$

Historia

Para el caso de variedades bidimensionales, el teorema fue probado por Poincaré en 1885. Para variedades de dimensión arbitraria, el resultado fue obtenido por Hopf en 1926 [1] .

Variaciones y generalizaciones

Se han probado teoremas similares para campos vectoriales con puntos singulares no aislados y para variedades con singularidades [2] [3] .

Notas

↑ Poincaré demostró una versión bidimensional de este teorema en 1885. Hopf demostró el teorema completo en 1926, siguiendo los resultados parciales de Brouwer y Hadamard . // Milnor J., Wallace A. Topología diferencial. Curso inicial. M: Mir, 1972 (pág. 223).
↑ Jean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa . Campos vectoriales en variedades singulares Archivado el 12 de junio de 2018 en Wayback Machine . Springer, 2009.
↑ Pavao Mardésic . Índice de singularidades de campos vectoriales reales en hipersuperficies singulares . Archivado el 18 de junio de 2022 en Wayback Machine . Diario de las Singularidades , vol 9 (2014), 111-121.

Literatura

Milnor J., Wallace A. , Topología diferencial. Curso inicial. M: Mir, 1972.
Arnold VI , Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . Cualquier edición.