Teorema de ruta

El teorema de Routh define la relación entre las áreas de un triángulo dado y la de un triángulo formado por tres cevianas que se cortan por pares . El teorema establece que si en un triángulo los puntos , y están sobre los lados , y , respectivamente, entonces, denotando , y , el área orientada del triángulo formado por las cevianas , y con respecto al área del triángulo se expresa por la relación $A B C$ $D$ $mi$ $F$ $antes de Cristo$ $California$ $AB$ ${\tfrac{CD}{BD}}$ ${\ estilo de visualización = x}$ ${\tfrac{AE}{CE}}$ ${\ estilo de visualización = y}$ ${\tfrac{BF}{AF}}$ ${\ estilo de visualización = z}$ $ANUNCIO$ $SER$ ${\ estilo de visualización CF}$ $A B C$

{\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)))

El teorema fue demostrado por E. J. Rouse en la página 82 de su Tratado sobre estática analítica con numerosos ejemplos en 1896. En un caso particular, el teorema es el conocido teorema del triángulo de un séptimo de área . En el caso de que la mediana se corte en el baricentro . ${\ estilo de visualización x = y = z = 2}$ ${\ estilo de visualización x = y = z = 1}$

Prueba

Hagamos que el área del triángulo sea . Para un triángulo y una recta , usando el teorema de Menelao , obtenemos: $A B C$ $una$ $ABD$ ${\ estilo de visualización FRC}$

{\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1

Entonces , por lo tanto, el área del triángulo es ${\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}$ $ARCO$

S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}= {\frac{x}{zx+x+1}}

De manera similar, obtenemos: y Por lo tanto, el área del triángulo es: $S_{BPA}={\frac{y}{xy+y+1}}$ $S_{CQB}={\frac{z}{yz+z+1))$ $PQR$

{\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB))

=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}

={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1))).

Enlaces

Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) "Tres pruebas más del teorema de Routh", Crux Mathematicorum 7: 199-203.
HSM Coxeter (1969) Introducción a la Geometría, pp. 211, 219-220, 2ª edición, Wiley, Nueva York.
JS Kline, D. Velleman. (1995) "Otra prueba más del teorema de Routh" (1995) Crux Mathematicorum 21:37-40
Jay Warendorff. El Teorema de Routh El Proyecto de Demostraciones de Wolfram .
Weisstein, Eric W. Routh's Theorem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Teorema de Routh por productos cruzados - MathPages
Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Revisión del teorema de Routh", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.