Teorema de Menelao

El teorema de Menelao , o el teorema de las transversales , o el teorema del cuadrilátero completo , es un teorema clásico de geometría afín .

Redacción

Si los puntos y se encuentran respectivamente en los lados y el triángulo o en sus extensiones [1] , entonces son colineales si y solo si $A',B'$ $C'$ $BC, California$ $AB$ $\triángulo ABC$

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

donde , y denote las proporciones de los segmentos dirigidos . ${\frac{AB'}{B'C}}$ ${\frac{CA'}{A'B}}$ ${\frac{BC'}{C'A}}$

Prueba

Dibujemos una línea paralela a la línea que pasa por el punto y denotemos por el punto de intersección de esta línea con la línea . Como los triángulos y son semejantes (en dos ángulos), entonces $C$ $AB$ $k$ $A'C'$ $\triángulo AC'B'$ $\triángulo CKB'$

{\frac {|AC'|}{|CK|}}={\frac {|B'A|}{|B'C|}}

Como los triángulos también son semejantes , y por lo tanto $\triángulo BC'A'$ $\triángulo CKA'$

{\frac {|CK|}{|C'B|}}={\frac {|A'C|}{|BA'|}}

Excluyendo , obtenemos $CK$

{\frac {|AC'|}{|C'B|}}\cdot {\frac {|BA'|}{|A'C|}}\cdot {\frac {|CB'|}{|B 'A|}}=1

Resta señalar que son posibles dos arreglos de puntos y : o dos de ellos se encuentran en los lados correspondientes del triángulo, y el tercero se encuentra en la extensión, o los tres se encuentran en las extensiones de los lados correspondientes. Por lo tanto, para las razones de los segmentos dirigidos , tenemos $A',B'$ $C'$

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

Notas

En particular, la relación para las longitudes de los segmentos se sigue del teorema: ${\frac {|AB'|}{|B'C|}}\cdot {\frac {|CA'|}{|A'B|}}\cdot {\frac {|BC'|}{|C 'A|}}=1.$

Variaciones y generalizaciones

Equivalente trigonométrico:

{\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}\cdot {\frac { \sin \ángulo ACC'}{\sin \ángulo C'CB}}=-1

, donde todos los ángulos están orientados .

En geometría esférica , el teorema de Menelao toma la forma

{\frac {\sin |AB'|}{\sin |B'C|}}\cdot {\frac {\sin |CA'|}{\sin |A'B|}}\cdot {\frac { \sin |BC'|}{\sin |C'A|}}=1.

En la geometría de Lobachevsky, el teorema de Menelao toma la forma

{\frac {\operatorname {sh}|AB'|}{\operatorname {sh}|B'C|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh}|CA'|}{\operatorname {sh}| A'B|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh}|BC'|}{\operatorname {sh}|C'A|}}=1.

Historia

Este teorema se demuestra en el tercer libro de las Esferas de Menelao de Alejandría (circa 100 dC). Menelao primero demuestra el teorema para el caso plano y luego lo transfiere a la esfera por proyección central. Es posible que el caso plano del teorema haya sido tratado anteriormente en los Porismos no conservados de Euclides.

El teorema esférico de Menelao fue la principal herramienta mediante la cual se resolvieron diversos problemas aplicados de la astronomía y la geodesia tardoantiguas y medievales. Está dedicada a una serie de obras llamadas "El libro de la figura de la secante", compiladas por matemáticos del Oriente medieval como Sabit ibn Korra , an-Nasavi , al-Maghribi , as-Sijizi , as-Salar , Jabir ibn Aflah , Nasir ad-Din at-Tusi .

El matemático italiano Giovanni Ceva en 1678 propuso una demostración del teorema de Menelao y un teorema de Ceva relacionado para el caso plano, basado en la consideración del centro de gravedad de un sistema de pesos de tres puntos. [2]

Aplicaciones

teorema de salmón
Muchos teoremas en geometría proyectiva , como el teorema de Pappus y el teorema de Desargues , se prueban mediante aplicaciones repetidas del teorema de Menelao.

Véase también

Notas

↑ puede haber exactamente dos o ningún punto en los lados mismos
↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milán, 1678

Enlaces

Balk M. B. , Boltyansky V. G. La geometría de la masa. - M .: Ciencias , 1987. - ( Biblioteca "Quantum" )).
Efremov D. Nueva geometría triangular . - Odessa, 1902. - 334 p. Archivado el 2 de marzo de 2005 en Wayback Machine .
Efremov D. Nueva geometría del triángulo. ed. 2. Serie: Patrimonio Físico y Matemático (reproducción reimpresión de la edición). . - Moscú: Lenand", 2015. - 352 p. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nuevos encuentros con la geometría. -M.:Nauka, 1978. - T. 14.- (Biblioteca del Círculo Matemático).
Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 tomos - M. : MTSNMO , 2004. - S. 73-74. — ISBN 5-94057-170-0 .
Mantón, Michel . Sobre el teorema de Ptolomeo sobre un triángulo atravesado por una transversal // Reseña histórica del origen y desarrollo de los métodos geométricos . - M. , 1883. - T. 2 .
Sidoli N. El teorema del sector atribuido a Menelao // SCIAMVS. - 2006. - Nº 7 . — págs. 43–79 .