Triángulo mediano

La mediana de un triángulo ( lat. mediāna - medio) es un segmento que conecta el vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. A veces, la mediana también se llama la línea que contiene este segmento. El punto de intersección de la mediana con el lado del triángulo se llama base de la mediana .

Definiciones relacionadas

El punto de intersección de las medianas divide cada mediana en dos segmentos. El segmento desde el vértice hasta el punto de intersección se llama premediana , y el segmento desde el punto de intersección hasta el lado opuesto es la posmediana . [1] En particular, podemos decir que en cualquier triángulo la razón de premediana a postmediana es igual a dos .

Propiedades

Propiedad principal

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto , que se llama baricentro o centro de gravedad del triángulo, y se dividen por este punto en dos partes en una proporción de 2:1, contando desde arriba.

Propiedades de las medianas de un triángulo isósceles

En un triángulo isósceles , dos medianas dibujadas a los lados iguales del triángulo son iguales, y la tercera mediana es tanto la bisectriz como la altura . Lo contrario también es cierto: si dos medianas en un triángulo son iguales, entonces el triángulo es isósceles y la tercera mediana es tanto la bisectriz como la altura del ángulo en su vértice.

En un triángulo equilátero, las tres medianas son iguales.

Propiedades de las bases de las medianas

Teorema de Euler para un círculo de nueve puntos : las bases de las tres alturas de un triángulo arbitrario, los puntos medios de sus tres lados ( las bases de sus medianas ), y los puntos medios de los tres segmentos que conectan sus vértices con el ortocentro , todos se encuentran en el mismo círculo (el llamado círculo de nueve puntos ).
El segmento trazado a través de las bases de cualquiera de las dos medianas de un triángulo es su línea media . La línea media de un triángulo siempre es paralela al lado del triángulo con el que no tiene puntos en común.
- Corolario ( Teorema de Tales sobre los segmentos paralelos ). La línea media de un triángulo es la mitad de la longitud del lado del triángulo al que es paralelo.
Terkem demostró el teorema de Terkem . [2] Ella afirma que si un círculo de nueve puntos corta los lados de un triángulo o sus prolongaciones en 3 pares de puntos (en 3 bases respectivamente de alturas y medianas) que son las bases de 3 pares de cevianos, entonces si 3 cevianos para 3 de estas bases se intersecan en 1 punto (por ejemplo, 3 medianas se intersecan en 1 punto), entonces 3 cevianas para otras 3 bases también se intersecan en 1 punto (es decir, 3 alturas también deben intersecar en 1 punto).

Otras propiedades

Si un triángulo es escaleno ( no equilátero ), entonces su bisectriz dibujada desde cualquier vértice se encuentra entre la mediana y la altura dibujada desde el mismo vértice.
La mediana divide el triángulo en dos triángulos iguales (en área).
Un triángulo se divide por tres medianas en seis triángulos de igual área. Los centros de los círculos circunscritos de estos seis triángulos se encuentran en el mismo círculo, que se llama círculo de Lamun .
A partir de los segmentos que forman las medianas, puede hacer un triángulo, cuyo área será igual a 3/4 del triángulo completo. Las longitudes medianas satisfacen la desigualdad del triángulo .
En un triángulo rectángulo , la mediana trazada desde un vértice con un ángulo recto es la mitad de la hipotenusa.
El lado más largo del triángulo corresponde a la mediana más pequeña.
Un segmento de línea recta que es simétrico o isogonalmente conjugado a la mediana interna con respecto a la bisectriz interna se llama simediana del triángulo. Tres simedianas pasan por un punto: el punto de Lemoine .
La mediana de un ángulo de un triángulo es isotómicamente conjugada consigo misma.

La polar trilineal del baricentro (puntos de intersección de tres medianas) es una línea recta en el infinito (ver Fig.).

Razones básicas

Para calcular la longitud de la mediana, cuando se conocen las longitudes de los lados del triángulo, se aplica el teorema de Apolonio (derivado a través del teorema de Stewart o extendiendo a un paralelogramo y usando la igualdad en el paralelogramo de la suma de los cuadrados de los lados y la suma de los cuadrados de las diagonales):

m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},

m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},

m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},

donde son las medianas a los lados del triángulo, respectivamente.

{\displaystyle m_{a},\ m_{b},\ m_{c))

{\ estilo de visualización a, \ b, \ c}

En particular, la suma de los cuadrados de las medianas de un triángulo arbitrario es 3/4 de la suma de los cuadrados de sus lados:

m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac 34}(a^{2}+b^{2}+c^{2} )

Por el contrario, uno puede expresar la longitud de un lado arbitrario de un triángulo en términos de medianas:

a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\raíz cuadrada {{\frac{c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}} ,

b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{a}^{2}}}={\raíz cuadrada {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}} ,

c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\raíz cuadrada {{\frac{a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}} ,

donde son las medianas a los lados correspondientes del triángulo, son los lados del triángulo.

m_{a},m_{b},m_{c}

a B C

El área de cualquier triángulo, expresada en función de las longitudes de sus medianas: $S$

S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c)))) ) ,

donde es la mitad de la suma de las longitudes de las medianas.

{\ estilo de visualización \ sigma = (m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}

Variaciones y generalizaciones

Ceviana es un segmento de línea en un triángulo que conecta el vértice del triángulo con un punto en el lado opuesto.

Véase también

Notas

↑ Starikov V.N. 10.º estudio sobre geometría (§ Antes-(pre-)- y post-Cevianos) // Revista electrónica científica revisada por pares de la Universidad Estatal Agraria de Moscú "Ciencia y Educación". 2020. No. 1. 7 p.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/ 1604
↑ Dmitri Efremov . Nueva geometría triangular Archivado el 25 de febrero de 2020 en Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 16.

Literatura

Efremov Dm. La nueva geometría del triángulo , 1902.

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex