Teorema del punto de inflexión de Rayleigh

El teorema de Rayleigh es un enunciado en hidrodinámica , según el cual para un flujo plano-paralelo para el desarrollo de inestabilidad , la condición necesaria es la presencia de un punto de inflexión en el perfil del flujo. El teorema fue obtenido por Rayleigh en la aproximación de un fluido ideal.

El enunciado principal del teorema obviamente contradice los hechos experimentales. En particular, un perfil de velocidad parabólica se realiza en el flujo de Poiseuille, que no tiene puntos de inflexión, sin embargo, la inestabilidad de tal flujo también es posible .

Prueba

La consideración de las perturbaciones de un flujo estacionario plano-paralelo (en coordenadas ) de un fluido viscoso bajo el supuesto de que tienen la forma , en una aproximación lineal conduce a la ecuación de Orr-Sommerfeld . Despreciando la viscosidad ( ) da la ecuación de Rayleigh: ${\ estilo de visualización (x, z)}$ $f(z){\text{e}}^{ikx}$ ${\text{Re}}\rightarrow \infty$

\left(\lambda +ikU\right)\nabla ^{2}w-ikwU''=0,

\nabla ^{2}={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}-k^{2},

donde están la amplitud, la tasa de crecimiento complejo y el número de onda de la perturbación, respectivamente; es el perfil de velocidad del flujo plano-paralelo; es el operador de Laplace para perturbaciones normales. En comparación con la ecuación original de cuarto orden, aquí el orden del problema se reduce al segundo, lo que requiere un ajuste de las condiciones de contorno. Para un canal con paredes macizas, la condición de no deslizamiento es obviamente reemplazada por la condición de impermeabilidad: $w,\lambda =\sigma +i\omega,k$ ${\ estilo de visualización U = U (z)}$ $\ nabla ^ {2}$

{\ estilo de visualización w \ vert _ {z = 0, h} = 0}

Dividimos la ecuación por , multiplicamos por la amplitud conjugada compleja de la perturbación e integramos sobre el ancho del canal: ${\ estilo de visualización \ izquierda (\ lambda + ikU \ derecha)}$ $w^{\ast}$

\int \limits _{0}^{h}w^{\ast}\nabla ^{2}wdz=ik\int \limits_{0}^{h}{\frac {U''\ vert w\vert ^{2}}{\left(\lambda +ikU\right)}}dz.

Transformación del lado izquierdo (teniendo en cuenta las condiciones de contorno para la ecuación de Rayleigh)

{\begin{alineado}&\int w^{\ast }\nabla ^{2}wdz=\int w^{\ast }w''dz-k^{2}\int \vert w\ vert ^{2}dz=\\&=w^{\ast }w'\vert _{0}^{h}-\int \vert w'\vert ^{2}dz-k^{2}\ int \vert w\vert ^{2}dz=-\int \vert w'\vert ^{2}dz-k^{2}\int \vert w\vert ^{2}dz.\end{alineado} }

muestra que es una expresión de signo definido y real. Por lo tanto, a la derecha, la parte imaginaria de la expresión debe ser igual a cero. Seleccionémoslo:

{\begin{alineado}&ik\int {\frac {U''\vert w\vert ^{2}}{\left(\lambda +ikU\right)))dz=ik\int {\frac {U''\left(\lambda ^{\ast }-ikU\right)\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz=\\&= ik\lambda ^{\ast}\int {\frac {U''\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz+k^{2}\ int {\frac {U''U\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz.\end{alineado}}

Teniendo en cuenta , obtenemos: ${\ estilo de visualización \ lambda = \ sigma + i \ omega}$

k\sigma \int {\frac {U''\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz=0.

Hay dos posibilidades aquí. Primero, , correspondiente a perturbaciones neutras. Sin embargo, esto no lleva ninguna información sobre la estabilidad, ya que la amplitud de tal perturbación no cambia con el tiempo. Por lo tanto, asumimos que la integral es igual a cero. Sin embargo, en el integrando, todos los valores, excepto , son positivos. La igualdad requiere un cambio de signo dentro del canal, por lo tanto, existe al menos un punto de inflexión, donde . ${\ estilo de visualización \ sigma = 0}$ ${\ estilo de visualización U''}$ ${\ estilo de visualización U''}$ ${\ estilo de visualización U''=0}$

Aplicabilidad

Obviamente, el teorema de Rayleigh no siempre es cierto. En primer lugar, la influencia del término viscoso puede ser significativa incluso con números de Reynolds altos, debido al gran valor de la cuarta derivada.

Sin embargo, la afirmación del teorema es muy general. Estudios experimentales y numéricos muestran que, aunque la inestabilidad es posible incluso en ausencia de un punto de inflexión, no se han encontrado flujos absolutamente estables con puntos de inflexión.

Véase también

Literatura

Lin Chia Chiao . Teoría de la estabilidad hidrodinámica. Moscú: Literatura Extranjera, 1958.