Punto de inflexión

Un punto de inflexión  es un punto en una curva plana en el que su curvatura orientada cambia de signo. Si la curva es la gráfica de una función, entonces en este punto la parte convexa de la función se separa de la cóncava (es decir, la segunda derivada de la función cambia de signo).

Definiciones

Un punto de inflexión (simple) de una curva regular es un punto de esta curva en el que la tangente a la curva tiene contacto de segundo orden con ella y divide la curva , es decir, los puntos de la curva que se encuentran en alguna vecindad de el punto dado en lados opuestos de este punto también se encuentra en lados diferentes de la tangente [1] [2] . Si la curva es 2-regular, entonces la condición se reemplaza por la siguiente: la curvatura orientada de la curva cambia de signo al pasar por un punto de inflexión. El punto de mayor inflexión (degenerada) de la curva es su punto, la tangente a la curva en la que tiene contacto con ella, cuyo orden no es inferior a tres, y la tangente parte la curva [1] .

La condición para cambiar el signo de la curvatura orientada no es equivalente a dividir la curva en partes cóncavas y convexas. Entonces, en el caso de una cúspide, la curva puede no tener una tangente. Para eliminar esto, las definiciones anteriores requieren la regularidad de la curva. Un caso más interesante es la función para cuando , que en el punto 0 toca el eje x y lo interseca, pero cambia de signo cerca de cero un número infinito de veces; aquí incluso hay una segunda derivada continua [3] . Para excluir tal caso, se requiere que la función tenga un extremo aislado (ver más abajo).

Un punto en una curva se llama punto de enderezamiento si la curvatura de la curva en ese punto es cero [4] . A veces, el punto de enderezamiento de una curva, que no es un punto de inflexión de esta curva, se denomina punto de enderezamiento parabólico [1] .

Una función diferenciable tiene un punto de inflexión ( x , f ( x )) si y solo si su primera derivada , f′ , tiene un extremo aislado en x (esto no es lo mismo que f tiene un extremo en ese punto). Es decir, en alguna vecindad del punto x , hay uno y sólo un punto en el que f′ tiene un mínimo o un máximo (local). Si todos los extremos de la función f′ están aislados , entonces el punto de inflexión es el punto en el gráfico de f donde la tangente intersecta la curva [5] [6] .

El vértice más alto (degenerado) de una curva regular es el punto en el que el círculo osculador lo toca, cuyo orden es más alto que el tercero [1] .

Un punto de inflexión ascendente  es un punto de inflexión donde la derivada tiene un mínimo local y un punto de inflexión descendente es un punto de inflexión donde la derivada tiene un máximo local.

Para una curva algebraica , un punto no singular es un punto de inflexión si y solo si la multiplicidad del punto de intersección de la tangente con la curva es impar y mayor que dos [7] .

Propiedades

Un punto de inflexión se caracteriza únicamente por dos propiedades:

Si la curva se define como la gráfica de una función diferenciable , el punto de inflexión es el punto extremo de .

Condiciones necesarias y suficientes

Si x es el punto de inflexión de f , entonces la segunda derivada, f″ ( x ), es cero si existe, pero esta condición no es suficiente . Se requiere que el orden más pequeño de una derivada distinta de cero (por encima de la segunda) sea impar (la tercera, quinta derivada, etc.). Si el orden mínimo de la derivada distinta de cero es par, el punto no es un punto de inflexión, sino un punto de enderezamiento parabólico [8] . En geometría algebraica, sin embargo, tanto los puntos de inflexión como los puntos de rectificación se conocen comúnmente como puntos de inflexión .

La definición asume que f tiene una derivada de orden superior distinta de cero con respecto a x , que no necesariamente existe. Pero si existe, se deduce de la definición que el signo de f′ ( x ) es constante a ambos lados de x en una vecindad de x .

La condición suficiente para el punto de inflexión es:

1) Una condición suficiente para el punto de inflexión es:

Si f ( x ) es k veces continuamente diferenciable en alguna vecindad del punto x , donde k es impar y k ≥ 3, f (n) ( x 0 )=0 para n = 2,…, k  - 1 y f ( k) ( x 0 ) ≠ 0, entonces x 0 es el punto de inflexión de f ( x ).

2) Otra condición suficiente requiere que y tengan signos diferentes en una vecindad del punto x , siempre que exista una tangente en este punto [2] .

Clasificación de los puntos de inflexión

Los puntos de inflexión se pueden clasificar según la derivada f′ ( x ).

Un ejemplo de un punto silla es el punto (0,0) del gráfico y = x 3 . La tangente es el eje x y divide el gráfico en ese punto.

Los puntos de inflexión no estacionarios se pueden demostrar mediante el gráfico de la función y \ u003d x 3 si se gira ligeramente con respecto al origen. La tangente en el origen todavía divide el gráfico en dos partes, pero el gradiente no es cero.

Funciones con saltos

Algunas funciones cambian de convexidad/concavidad en algún punto, pero no tienen un punto de inflexión en ese punto. En cambio, pueden cambiar la curvatura en la transición de la asíntota vertical o en el punto de discontinuidad. Tomemos, por ejemplo, la función 2 x 2 /( x 2  - 1). es convexo en | x | > 1 y es cóncava en | x | < 1. Sin embargo, esta función no tiene punto de inflexión, ya que 1 y −1 no pertenecen al dominio de la función.

Véase también

Notas

  1. ↑ 1 2 3 4 Shikin, 1997 , pág. 39.
  2. ↑ 1 2 Bronshtein, Semendyayev, 2005 , p. 231.
  3. ↑ Fikhtengolts, 2001 , pág. 305.
  4. ↑ Shikin, 1997 , pág. 27
  5. ↑ Fikhtengolts, 2001 , pág. 294-305.
  6. ↑ Kudryavtsev, 1981 , pág. 190-195.
  7. ↑ Punto de inflexión . encyclopediaofmath.org .
  8. ↑ Rashevski, 1950 , pág. 18-19.

Literatura

Enlaces