Ecuación de Orr-Sommerfeld

La ecuación de Orr-Sommerfeld es una ecuación de un problema de valor propio hidrodinámico que describe la estabilidad de un flujo plano-paralelo de un fluido viscoso incompresible con condiciones de contorno arbitrarias y un perfil de velocidad. Es una de las ecuaciones básicas de la teoría de la estabilidad hidrodinámica .

La ecuación se publicó por primera vez en los trabajos de William McFadden Orr y Arnold Sommerfeld en 1907-1908.

Planteamiento del problema

La ecuación de Orr-Sommerfeld se obtiene a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes para pequeñas perturbaciones de un flujo estacionario. Suponiendo que la velocidad del flujo se puede representar como

{\vec {v}}=U(z){\vec {e}}_{x}+{\vec {v}}'(x,z),

donde es el perfil de flujo estacionario, se puede pasar a las ecuaciones linealizadas de Navier-Stokes para perturbaciones, que admiten soluciones en forma de ondas viajeras , donde es el número de onda de las perturbaciones a lo largo del eje , y es la velocidad de su propagación. ${\ estilo de visualización U (z)}$ ${\vec {v))'\sim \exp(ik(x-ct))$ $k$ $X$ $C$

Excluyendo sucesivamente la presión y la componente horizontal de la velocidad de perturbación de las ecuaciones directamente o pasando a la función de corriente , podemos llevar el sistema a una ecuación para la componente vertical, el potencial de velocidad o la función de corriente, independientemente de la elegida. transformaciones:

(Uc)\left({\frac {\parcial ^{2}\varphi }{\parcial z^{2))}-k^{2}\varphi \right)-{\frac {\parcial ^{2}U}{\parcial z^{2}}}\varphi ={\frac {1}{ik\mathrm {Re} }}\left({\frac {\parcial ^{4}\varphi } {\parcial z^{4))}-2k^{2}{\frac {\parcial ^{2}\varphi }{\parcial z^{2))}+k^{4}\varphi \right) ,

donde es el número de Reynolds adimensional . $\mathrm{Re}$

Al escribir perturbaciones en la forma , donde es el incremento (tasa de crecimiento) de las perturbaciones, se puede obtener una forma ligeramente diferente de la ecuación: ${\vec {v))'\sim \exp(ikx+\lambda t)$ $\lambda$

(\lambda +ikU)\left({\frac {\parcial ^{2}\varphi }{\parcial z^{2))}-k^{2}\varphi \right)-ik{\ frac {\parcial ^{2}U}{\parcial z^{2))}\varphi ={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\left({\frac {\parcial ^{4} \varphi }{\parcial z^{4))}-2k^{2}{\frac {\parcial ^{2}\varphi }{\parcial z^{2))}+k^{4}\varphi \Correcto).

La ecuación se complementa con condiciones de contorno para las perturbaciones correspondientes al problema. Por ejemplo, para un flujo en un canal con dos paredes sólidas, sobre ellas se realizará lo siguiente:

\varphi =0,{\frac {\parcial \varphi }{\parcial z}}=0,

si nos referimos a la componente vertical de la velocidad de perturbación o al potencial del campo de velocidad, o $\varphi$

\varphi =0,{\frac {\parcial \varphi }{\parcial x}}=0,

si es una función de la corriente. $\varphi$

El valor propio del problema de valor límite resultante es la velocidad de propagación de la perturbación , que depende del número de onda y del número de Reynolds. En el caso general se trata de un número complejo , y si la parte imaginaria de la velocidad resulta positiva, se produce un crecimiento exponencial de las perturbaciones en el tiempo y, en consecuencia, la pérdida de estabilidad del flujo estacionario y la transición. de flujo laminar a turbulento . $C$

Soluciones a la ecuación

En general, incluso para los perfiles de velocidad más simples, como el flujo de Poiseuille , esta ecuación no puede resolverse analíticamente. Solo se puede obtener una solución exacta para el flujo de Couette (ver más abajo). Para flujos arbitrarios, métodos asintóticos, métodos espectrales ( método de colocación , método de Galerkin, etc.), algoritmos especializados para la solución numérica de problemas de valores en la frontera, como el método de disparo o el método de barrido diferencial , o simulación numérica directa del desarrollo de Se utiliza la inestabilidad del flujo.

Análisis de la estabilidad del flujo de Couette

Véase también

Literatura

Orr, W. M'F. (1907). “La estabilidad o inestabilidad de los movimientos constantes de un líquido. Parte I". Actas de la Royal Irish Academy. R27:9-68
Orr, W. M'F. (1907). “La estabilidad o inestabilidad de los movimientos constantes de un líquido. Parte II". Actas de la Royal Irish Academy. A27:69-138
Sommerfeld, A. (1908). "Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen". Actas del IV Congreso Internacional de Matemáticos III. Roma. páginas. 116-124
Lin Chia Chiao . Teoría de la estabilidad hidrodinámica. Moscú: Literatura Extranjera, 1958.

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