Teorema de Schur (teoría de Ramsey)

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El teorema de Schur es una declaración en la teoría de Ramsey de que para cualquier coloración de números naturales en un número finito de colores, hay una solución de un solo color de la ecuación . Nombrado en honor a su autor, Isai Shura . ${\ estilo de visualización x+y=z}$

Orígenes

El teorema de Schur surgió como una herramienta para probar un enunciado que se seguiría trivialmente de la negación del último teorema de Fermat, entonces no probado , a saber, la respuesta a la cuestión de la solución de su ecuación en el anillo de residuos con un módulo primo suficientemente grande : para cualquiera para números primos , la ecuación $número 3$ $p>p_{0}=p_{0}(n)$

x^{n}+y^{n}\equiv z^{n}{\pmod {p))

tiene soluciones distintas de cero?

Tales ecuaciones (y otras similares) fueron consideradas por Guglielmo Libri en 1832 [1] , pero solo en 1909 Leonard Eugene Dixon recibió el primer resultado general sobre este tema: mostró la exactitud de esta declaración para todos los números primos . [2] $norte$

Dixon actuó por métodos teóricos de números, pero en 1917 Schur aplicó un enfoque combinatorio al problema, considerando la partición de un anillo módulo primo en clases de residuos correspondientes a diferentes valores del logaritmo discreto de uno u otro módulo de residuos ( en otras palabras, en clases laterales de subgrupos multiplicativos ). En este caso, al multiplicar todas las variables por una raíz primitiva , uno puede "transferir" soluciones de cualquier ecuación lineal de una clase a otra (si antes de la multiplicación todas las variables estaban en la misma clase, luego de tal "transferencia" será lo mismo). Gracias a esto, un enunciado tipo Ramsey (sobre la existencia de un solo elemento de partición, pero no sobre las propiedades de cada conjunto en particular) sobre ecuaciones lineales se convierte fácilmente en un enunciado de teoría numérica (sobre las propiedades de un conjunto), ya que la existencia de una configuración en un elemento del tabique implica su existencia en todos los demás. [3] $norte$

Redacción

si , entonces ${\displaystyle {\mathbb {N} }={\mathcal {N}}_{1}\cup {\mathcal {N}}_{2}\cup \dots \cup {\mathcal {N}}_{ k))$ $\existe i,x,y:\ \left\lbrace {x,y,x+y}\right\rbrace \subset {\mathcal {N}}_{i}$

Como muchos enunciados de la teoría de Ramsey, el teorema de Schur también admite una formulación finita. Esto significa que, para fijos, el mínimo de los que cumplen la condición no puede ser arbitrariamente grande. $k$ $x,y$

Versión final

Para todos existe tal que si , entonces $k$ ${\ estilo de visualización S = S (k)}$ $\{1,2,\dots ,S\}={\mathcal {N}}_{1}\cup {\mathcal {N}}_{2}\cup \dots \cup {\mathcal { N}}_{k}$ $\existe i,x,y:\ \left\lbrace {x,y,x+y}\right\rbrace \subset {\mathcal {N}}_{i}$

Prueba

Es habitual probar el teorema de Schur en la formulación final considerando , es decir , los números de Ramsey para 3 clicas (triángulos) al colorear . Si significa el color de un número en alguna coloración fija , entonces al colorear los bordes del gráfico completo de tal manera que , la existencia de un triángulo de un solo color implica la existencia de la solución de un solo color deseada en la partición ${\ estilo de visualización S = R (3, \ puntos, 3)}$ $k$ ${\ estilo de visualización c (n)}$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ {1, \ puntos, S \}}$ $KANSAS}$ ${\overline {c}}(i,j)=c(|ij|)$ ${\ estilo de visualización \ {1, \ puntos, S \}}$

En el momento de la primera publicación del teorema de Schur, aún no se conocía el teorema de Ramsey , pero Schur realizó argumentos para diferencias de números pertenecientes a una de las clases de partición que eran completamente similares a los realizados en la demostración general del teorema de Ramsey. teoría.

Tal prueba da una estimación . Aplicada a la cuestión de la resolución de la ecuación para los valores considerados anteriormente, resultó ser peor que la obtenida por Libri (demostró que para números primos , la condición es suficiente ). [cuatro] $S<e\cdot (n!)$ $x^{n}+y^{n}\equiv z^{n}{\pmod {p))$ $norte$ $norte$ ${\displaystyle p>n^{4))$

Relación con otros teoremas

El teorema de Schur es muy similar al teorema de van der Waerden para progresiones de longitud 3 (porque tal progresión es la solución de la ecuación ), sin embargo, a diferencia de éste, no permite una generalización aditivo-combinatoria (que es el teorema de Roth para el teorema de van der Waerden ), ya que el propio conjunto sin suma puede ser suficientemente denso (por ejemplo, el conjunto de todos los números impares). ${\ estilo de visualización x+y=2z}$

Véase también

Teorema de Folkman

Literatura

Par Sr. G. Libri de Florencia. Mémoire sur la théorie des nombres. (Francés) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1832. - Vol. 9 , libr. 2 . — pág. 261-276 .
Señor. LE Dickson. Sobre la congruencia $x^{n}+y^{n}+z^{n}\equiv 0{\pmod {p}}$ (inglés) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1909. - Vol. 135 . - P. 134-141 .
I. Schur. Über die Kongruenz $x^{m}+y^{m}\equiv z^{m}{\pmod {p))$ (alemán) // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. - 1917. - Bd. 25 . - S. 114-117 .

Notas

↑ Libro, 1832 .
↑ Dickson, 1909 .
↑ Schur, 1917 .
↑ Schur, 1917 , pág. 116, la fórmula se menciona en una línea separada en el medio del último párrafo. $M=m^{4}-6m^{3}+13m^{2}-6m+1$