Teorema de Van der Waerden

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 15 de diciembre de 2018; las comprobaciones requieren 8 ediciones .

El teorema de Van der Waerden es un resultado clásico de la teoría combinatoria de números sobre progresiones aritméticas monocromáticas en la coloración de números naturales . El teorema es un enunciado típico de la teoría de Ramsey , así como un precursor del teorema de Szemeredi , que marcó el comienzo de una gran rama de la combinatoria aditiva .

Notación

A lo largo del artículo, la notación se utiliza para denotar un conjunto . Esta designación es bastante común en la literatura. ${\ estilo de visualización \ {1, \ puntos, N \}}$ ${\ estilo de visualización [N]}$

Redacción

El teorema tiene dos formulaciones equivalentes : finito e infinito [1] .

Redacción sin fin

Para cualquier función y , existen tales que $r,k\in {\mathbb {N} }$ $c:{\mathbb {N} }\a [r]$ $a,d\in {\mathbb {N} }$

c(a)=c(a+d)=\dots =c(a+(k-1)d)

Una función generalmente se llama coloración de números naturales, sus valores son colores de números y una progresión es de un color (el teorema no especifica qué color tienen sus elementos). $C$ ${\ estilo de visualización a, a + d, \ puntos, a + (k-1) d}$

La formulación finita es similar a la infinita, pero considera una coloración de un conjunto finito. Pertenece a O. Schreier [2] .

Redacción definitiva

Para cualquier existe un número tal que para cualquier función existe tal que $r,k\in {\mathbb {N} }$ ${\ estilo de visualización N = N (r, k)}$ ${\ estilo de visualización c: [N] \ a [r]}$ $a,d\in {\mathbb {N} }$

c(a)=c(a+d)=\dots =c(a+(k-1)d)

Los números de la formulación final se llaman números de van der Waerden . Para ellos, se estudian los límites inferior y superior. ${\ Displaystyle N (r, k)}$

Historia

La demostración del teorema fue publicada por B. L. van der Waerden en 1927.

Alexander Sofier en su ensayo histórico sobre la teoría de Ramsey escribe que Schur consideró el enunciado del teorema como una hipótesis cuando trabajaba en su teorema sobre la coloración de números (en 1916), pero la hipótesis no llegó a van der Waerden de Schur, pero fue inventado de forma independiente por Bode y van der Waerden aprendió la hipótesis de sus alumnos (Baudet ya había muerto en ese momento). La prueba fue inventada en la Universidad de Hamburgo y presentada al público en Berlín en el congreso de la Sociedad Matemática Alemana [3] .

Van der Waerden simplemente no se dio cuenta de cuán importante era el resultado que había probado: envió sus artículos sobre geometría algebraica a la revista más prestigiosa, Mathematische Annalen , y envió esta prueba a la revista "ininteligible" Nieuw Archief voor Wiskunde de la Sociedad Matemática Holandesa . .

Texto original (inglés)[ mostrarocultar] Van der Waerden simplemente no se dio cuenta de lo importante que era el resultado que demostró: envió sus artículos de geometría algebraica a la revista más prestigiosa, Mathematische Annalen , pero envió esta prueba a una revista "oscura", Nieuw Archief voor Wiskunde de la Sociedad Matemática Holandesa . .

A su vez, Alexander Khinchin escribió que el resultado se obtuvo en Göttingen en el verano de 1928 pocos días antes de su llegada allí y que “un matemático local […] se encontró con la hipótesis en el curso de su trabajo científico” [4] .

La ambigüedad del origen de la hipótesis original es enfatizada por Ronald Graham en su libro sobre la teoría de Ramsey [5] , sin embargo, todas las fuentes coinciden en que en la formulación del problema que resolvió van der Waerden, había solo dos colores, y Se agregó el fortalecimiento de la afirmación a un número arbitrario de colores como herramienta de prueba.

Esquema de la prueba [6]

En esta sección, la afirmación de que el teorema es verdadero para colores y longitudes de progresión se denota como . $r$ $k$ ${\mbox{W}}(r,k)$

El teorema se demuestra por inducción sobre . La base es obvia [7] . Al probar un paso de inducción, se suele decir por conveniencia que se supone que se prueba para todos , aunque formalmente, para probar cada enunciado individual , se utilizan un número finito de enunciados de la forma , pero con valores muy grandes de . suficiente $k$ $k=2$ ${\mbox{W}}(r,k')$ $k'<k,\ r\in {\mathbb {N} }$ ${\mbox{W}}(r,k)$ ${\mbox{W}}(r',k-1),r'\in {\mathbb {N} }$ $r'$

Para garantizar la presencia de una progresión de longitud de un color , se debe pasar de considerar un intervalo, cuya longitud garantiza la presencia de una progresión de longitud de un color , a intervalos cada vez más grandes, que garanticen la presencia de más y estructuras más complejas - los llamados abanicos . Para colorear, llamamos -fan a una familia de progresiones de longitud tal que: $k$ $k-1$ $C$ $s$ $({\vec{P}}_{i})_{i=1}^{s}$ $k$

${\vec {P}}_{1}(k)={\vec {P}}_{2}(k)=\dots ={\vec {P}}_{s}(k)$ , es decir, el último punto de todas las progresiones es común;
$c({\vec {P}}_{i}(1))=c({\vec {P}}_{i}(2))=\dots =c({\vec {P} }_{i}(k-1)),\ i=1,\puntos,s$ , es decir, para cada progresión, todos los elementos, excepto el último, son del mismo color;
$i\not =j\Rightarrow c({\vec {P}}_{i}(1))\not =c({\vec {P}}(1))$ , es decir, el color principal (de todos los elementos excepto el último) es diferente para cada progresión.

Los ventiladores se pueden usar para probar el paso de inducción debido a dos propiedades obvias:

la presencia en la coloración de una progresión de longitud de un solo color significa en realidad la presencia de un abanico; $k-1$ $una$
la presencia de un abanico en la coloración garantiza la presencia de una progresión de longitud de un solo color (dado que los colores de todas las progresiones son diferentes y los colores de todo , entonces uno de ellos coincide con el color del último elemento común). $r$ $k$ $r$

Por lo tanto, basta probar un paso de inducción sobre un parámetro para la declaración "cualquier coloración de un intervalo suficientemente grande contiene un abanico o una progresión de longitud ". Para esto debes: $s$ $s$ $k$

Divida un intervalo grande en bloques: intervalos más pequeños, pero también de una longitud suficientemente grande (denotemos ). El valor debe ser suficiente para asegurar que haya un ventilador en los intervalos de longitud (es decir, en cada bloque) (tal longitud existe por la hipótesis de inducción). $METRO$ $METRO$ $METRO$ ${\ estilo de visualización (s-1)}$
Asigne todo el conjunto de colores de sus elementos como un "hipercolor" del bloque. El número de tales hipercolores será muy grande, pero aún finito. ${\ estilo de visualización r^{M))$
Para una "hipercoloración" de una secuencia de bloques suficientemente larga, aplique la instrucción , es decir, "encuentre" una progresión de bloques de colores absolutamente idénticos. ${\mbox{W}}(r^{M},k-1)$

Esto garantizará la presencia de varios abanicos idénticos espaciados a la misma distancia entre sí (una especie de progresión de abanicos). Si el color del elemento central del abanico difiere de los colores de sus progresiones [8] , entonces en tal construcción es posible seleccionar un abanico en diagonal (ver la imagen). $s$ ${\ estilo de visualización (s+1)}$

Análisis de progresiones multivariadas

Durante la transición diagonal de la progresión de -fans a -fan, se pierde una gran cantidad de conexiones aritméticas y de color, en las que participan elementos que no están incluidos en el -fan. Si rastreamos estos elementos y su duplicación en progresiones subsiguientes desde -fans, -fans, etc., entonces se verá que las progresiones de un color que emanan de cualquier -fan son en realidad diagonales de progresiones multidimensionales de un color de dimensión desde a , dependiendo del "momento" de aparición del color durante la inducción. Por lo tanto, algunos autores presentan la prueba en términos de encontrar la combinación apropiada de progresiones multidimensionales [9] . $s$ ${\ estilo de visualización (s+1)}$ ${\ estilo de visualización (s+1)}$ ${\ estilo de visualización (s+1)}$ ${\ estilo de visualización (s+2)}$ $s$ $una$ $s$

Generalizaciones

Para el teorema de van der Waerden, se han estudiado muchas generalizaciones para varios aspectos de la formulación del enunciado. Se pueden combinar diferentes tipos de generalizaciones en una declaración.

En esta sección, solo se dan formulaciones interminables de declaraciones generalizadas, aunque para la mayoría de ellas hay análogos finitos construidos de acuerdo con el mismo principio que para el teorema principal.

Formas de generalizar

Según las condiciones estructurales para la configuración

La condición de que los números formen una progresión aritmética significa el cumplimiento de las igualdades ${\displaystyle x_{1},\puntos,x_{k))$

x_{i}-x_{i-1}=x_{i+1}-x_{i},\i=2,\dots,k-2

Una forma de generalizar es sustituir estas condiciones por otras que también sean lineales.

Pregunta

¿ Para qué sistemas de ecuaciones lineales (incluidas las ecuaciones individuales) sigue siendo cierto el enunciado del teorema de van der Waerden cuando la condición de que los elementos de la configuración requerida forman una progresión se reemplaza por el hecho de que satisfacen el sistema dado?

Además, los elementos de progresión se pueden representar como . Si percibimos las diferencias como funciones fijas de , entonces esto lleva a una generalización polinomial. $a,a+d,a+2d,\dots,a+(k-1)d$ ${\ estilo de visualización d, 2d, \ puntos, (k-1) d}$ $d$

Versión polinomial

Sean polinomios con coeficientes enteros tales que . Entonces para cualquiera y hay colorantes tales que ${\displaystyle p_{1},\puntos,p_{k))$ $p_{i}(0)=0,\i\en [k]$ $r\in {\mathbb {N} }$ $c:{\mathbb {N} }\to r$ $a,d\in {\mathbb {N} }$

c(a)=c(a+p_{1}(d))=c(a+p_{2}(d))=\dots =c(a+p_{k}(d))

Ideas de prueba [10]

Los abanicos también se pueden usar para probar la versión polinómica, pero con las correspondientes diferencias polinómicas. Por ejemplo, al probar la presencia de un par monocromático en una coloración arbitraria, un paso intermedio es probar la existencia de números tales que tengan colores diferentes y sean cuadrados [11] . $a,a+d^{2},\ a,d\in {\mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\puntos,x_{s))$ ${\displaystyle x_{1},\puntos,x_{s))$ ${\displaystyle x_{1}-x_{0},\puntos,x_{s}-x_{1))$

Por dimensión

Al generalizar el teorema a espacios multidimensionales, en lugar de progresiones, se consideran imágenes homotéticas de un conjunto finito de puntos (una progresión aritmética corresponde a una imagen homotética de un hipercubo discreto ).

Versión multidimensional [12]

Para cualquier número natural , hay conjuntos y colorantes tales que $r,t\in {\mathbb {N} }$ ${\displaystyle K\subconjunto {\mathbb {N} }^{t))$ ${\displaystyle c:{\mathbb {N} }^{t}\to \{1,\dots,r\))$ ${\vec {a}}\in {\mathbb {N} }^{t},d\in {\mathbb {N} }$

c({\vec {a}})=c({\vec {a}}+{\vec {k}}d)\ \forall \ {\vec {k}}\in K

El teorema de Hales-Jewett ofrece una generalización más amplia, puramente combinatoria y multidimensional. Por comodidad, puede entenderse como un teorema de coloración , pero en él no se utilizan en absoluto operaciones con números, es decir, el conjunto puede sustituirse por cualquier otro del mismo tamaño. Aquí, la dimensión del espacio actúa como un parámetro variable (“suficientemente grande”) , por lo que el teorema de Hales-Jewett tiene solo una formulación finita. ${\ estilo de visualización [k]^{n))$ ${\ estilo de visualización [k]}$

Definición

A un conjunto de líneas combinatorias en la diagonal de cualquier subcubo no trivial se le llama, es decir, al conjunto de todos los vectores, donde algunas de las coordenadas pueden ser fijas, y el resto (número distinto de cero) son siempre iguales y corren a través de todos los valores . $A$ ${\ estilo de visualización A ^ {n}}$ $a \ en A$

Teorema de Hales-Jewett [13]

Para any existe un número tal que para any en cualquier color existe una línea combinatoria monocromática. $k,r\in {\mathbb {N} }$ ${\ estilo de visualización n_ {0} = n_ {0} (r, k)}$ $n>n_{0},\ |A|=k$ $c:A^{n}\to [r]$

Ideas de prueba

La demostración del teorema de Hales-Jewett se basa en la misma inducción mediante ventiladores. Para un vector , se considera una partición de coordenadas . En una hipercoloración , donde el hipercolor del vector es una combinación de colores de todos los puntos de la forma , para un tamaño suficientemente grande es posible, por la suposición inductiva (c ), encontrar una línea combinatoria, donde todos los elementos excepto uno serán del mismo color. Para colorear , esto significará la presencia de tal "línea" de subespacios de dimensión de colores idénticos . Y para los grandes, se garantiza la presencia de una línea recta similar en cada uno de estos subespacios. Resulta "una línea recta de líneas rectas", cada una de las cuales tiene la misma continuación. Esta construcción es similar a la construcción de progresiones generalizadas a partir de la demostración del teorema de van der Waerden y puede usarse para construir ventiladores de la misma forma que [14] . ${\vec {a}}\en A^{n}$ ${\vec {a}}=({\vec {a_{1}}},{\vec {a_{2}}})\en A^{n_{1}}\veces A^{n_ {2}},\n_{1}+n_{2}=n$ ${\ Displaystyle A^{n_{1))}$ ${\vec {a_{1}}}\en A^{n_{1}}$ $({\vec {a_{1}}},{\vec {a_{2}}}),\ {\vec {a_{2}}}\en A^{n_{2}}$ $n_ {1}$ ${\ Displaystyle k'=k-1}$ ${\ estilo de visualización A ^ {n}}$ $n_ {2}$ $n_ {2}$

El teorema de van der Waerden se deriva del teorema de Hales-Jewett, ya que la transformación de a , correspondiente a la interpretación de las coordenadas como dígitos en el sistema numérico -ario , mapea líneas combinatorias en progresión aritmética [15] . El teorema multidimensional de van der Waerden se puede derivar de manera similar fijando cualquier numeración de elementos y considerando el teorema de Hales-Jewett para [16] . ${\ estilo de visualización [k]^{n))$ ${\ estilo de visualización [k^{n}]}$ $k$ $k$ $k=|K|$

El teorema multidimensional también se puede demostrar directamente, sin el teorema de Hales-Jewett. De hecho, si se demuestra para un subconjunto que contiene puntos afines independientes , entonces podemos aplicar la inducción de a con la ayuda de abanicos de los teoremas de van der Waerden, pero con una partición en bloques multidimensionales. Por lo tanto, basta con presentar una forma de pasar de un enunciado para a un enunciado para un conjunto de puntos independientes afines. Como ejemplo de esto , puedes tomar una esquina, es decir, puntos de la forma ${\displaystyle K'\subconjunto K\subconjunto {\mathbb {R} }^{t))$ $t$ $K'$ $k$ ${\ estilo de visualización {\ mathbb {R}} ^ {t-1}}$ ${\displaystyle K\subconjunto {\mathbb {R} }^{t))$ $t$ $k$

{\ estilo de visualización (a_ {1}, a_ {2}, \ puntos, a_ {t})}

{\ estilo de visualización (a_ {1} + d, a_ {2}, \ puntos, a_ {t})}

{\ estilo de visualización (a_ {1}, a_ {2} + d, \ puntos, a_ {t})}

\puntos

{\ estilo de visualización (a_ {1}, a_ {2}, \ puntos, a_ {t} + d)}

La presencia de una esquina bidimensional en el hiperplano con la condición (que se garantiza para suficientemente grande ) significa la presencia de una esquina en la que todos los puntos, excepto el central, son del mismo color. Además, dividiendo los números en bloques multidimensionales y aplicándoles el mismo procedimiento, uno puede construir ventiladores arbitrariamente grandes a partir de esos rincones. ${\ estilo de visualización (t-1)}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{t))$ $a_{1}+\puntos +a_{t}=N$ $norte$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{t))$

Un color (subconjuntos densos)

A partir de consideraciones empíricas, es natural suponer que la configuración deseada de números de un solo color en la mayoría de los casos tendrá el color más popular, porque cuantos más números de un color u otro, más configuraciones interesantes pueden surgir entre ellos.

Aunque plausible, esta afirmación no se deriva directamente del teorema de van der Waerden y es mucho más difícil de probar. Para formalizarlo, cabe señalar que en la coloración final el color más popular tiene una densidad superior positiva [17] . Por lo tanto, la suposición enunciada significa la presencia de una progresión en cualquier conjunto denso. Este teorema lleva el nombre de Endre Szemeredy , quien lo demostró por primera vez.

Teorema de Szemeredi

Para cualquiera y un conjunto tal que , existen tales que . ${\displaystyle \delta \in (0;1),k\in {\mathbb {N} ))$ $A$ $\lim \limits _{N\to \infty }{\frac {|A\cap [N]|}{N}}>\delta$ $a,d\in {\mathbb {N} }$ ${\ estilo de visualización a, a + d, \ puntos, a + (k-1) d \ en A}$

Por analogía con los números de van der Waerden, para la versión finita del teorema de Szémerédy, estudiamos cotas inferior y superior para , suficientes para el conjunto con la condición de contener siempre una progresión de longitud . Obtener dichas estimaciones en el caso es mucho más difícil que en el caso de . ${\ estilo de visualización N (\ delta, k)}$ $A\subconjunto [N]$ ${\ estilo de visualización | A |> \ delta N}$ $k$ $k\geq 4$ $k=3$

Ideas de prueba

Los métodos para probar el teorema de Szemeredi son notablemente diferentes del teorema de van der Waerden tanto en tipo como en complejidad. Se conocen demostraciones combinatorias (usando el lema de regularidad de Szemeredi de la teoría general de grafos ), analíticas (usando los coeficientes de Fourier y las normas de Gowers generalizándolos ) y ergódicas.

Para probar las generalizaciones más amplias (con la adición de diferencias polinómicas y multidimensionalidad del espacio), los métodos de la teoría ergódica funcionan bien, pero no brindan estimaciones cuantitativas para las formulaciones finales [18] .

A una infinidad de colores

Con un número contable de colores, es decir, coloración , puede que no haya progresiones largas de un solo color [19] . Pero si consideramos configuraciones donde los colores de todos los elementos son diferentes como otro polo, también admisible, de estructura de color, entonces el teorema sigue siendo cierto. $c:{\mathbb {N} }\to {\mathbb {N} }$

Esta declaración se llama la versión canónica del teorema de van der Waerden.

versión canónica

Para cualquier coloración y hay números tales que: $k\in {\mathbb {N} }$ $c:{\mathbb {N} }\to {\mathbb {N} }$ $a,d\in {\mathbb {N} }$

o $c(a)=c(a+d)=\dots =c(a+(k-1)d)$
o para cualquier $c(a+id)\not=c(a+jd)$ $0\leq i<j<k$

Ideas de prueba

Erdős y Graham fueron los primeros en notar que la versión canónica se deriva del teorema de Szemeredi [20] . Posteriormente, esta idea se generalizó al caso multidimensional [21] . Sin embargo, el teorema de Szémeredy en sí mismo es difícil de probar, por lo que más tarde se encontró otra prueba elemental de la versión canónica a través de una versión multidimensional del teorema habitual de van der Waerden [22] .

Según la coloración , se puede construir una coloración del plano , donde el color del par está asociado a la progresión , es decir, corresponde a la división de la progresión por la igualdad de colores. Por ejemplo, los pares para los que las progresiones correspondientes están coloreadas (rojo, rojo, verde) y (azul, azul, amarillo) tendrán el mismo color en . Es importante que el número de colores sea finito . $c:{\mathbb {N} }\to {\mathbb {N} }$ $C'$ ${\displaystyle (a,d)\in {\mathbb {N} }^{2))$ ${\ estilo de visualización a, a + d, \ puntos, a + (k-1) d}$ ${\ estilo de visualización (c (a), c (a + d), \ puntos, c (a + (k-1) d))}$ $C'$ $C'$

Si no hay progresiones multicolores de longitud , entonces cualquier progresión tiene al menos dos elementos del mismo color. Por el teorema multidimensional de van der Waerden, hay una imagen homotética de un solo color en la coloración . Las progresiones correspondientes a los puntos de esta imagen se cortarán de tal manera que, al combinar estas igualdades, es posible mostrar la monocromaticidad de elementos de diferentes progresiones, y serán tantos que estos elementos forman su propia progresión. de longitud , completamente monocromática, que es requerida por la condición. $C$ $k$ $C'$ ${\ estilo de visualización [(k-1) ^ {2}] ^ {2))$ $k$

Cuadro resumen con algunos resultados

Condiciones aritméticas a la estructura deseada	Área de búsqueda	Espacio
		unidimensional	Multidimensional	${\ estilo de visualización A ^ {n}}$ para la final $A$
Progresiones aritméticas	coloración definitiva	Teorema de Van der Waerden	ingenio, 1952	Teorema de Hales-Jewett
	Colorear sin fin	Promel, Rodl, 1986		El teorema tiene única redacción final
	subconjunto denso	Teorema de Szemeredi (incluido el teorema de Roth )	teorema de la esquina	conocido fuerte Generalizaciones del teorema de Roth
Soluciones de ecuaciones lineales o sistemas de ecuaciones	coloración definitiva	Teorema de Rado teorema de Schur
	Colorear sin fin	Lefman, 1986		El teorema tiene única redacción final
	subconjunto denso	algunos son conocidos generalizaciones del teorema de Roth [23] [24]
significado de polinomios en diferencias	coloración definitiva	Walters, 2000
	Colorear sin fin	Girao, 2020 Zorro, Wigderson, Zhao, 2020		El teorema tiene única redacción final
	subconjunto denso	Bergelson, Leibman, 1996
	subconjunto denso	Demostrado por métodos separados Teorema de Furstenberg-Sharkozy [25] y el teorema cuadrático de Roth [26]

Literatura

I. D. Shkredov. Teorema de Szemeredi y problemas sobre progresiones aritméticas // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 2006. - T. 61 , núm. 6 _ — págs. 111–178 . (Ruso)

A. Soifer. Teoría de Ramsey : ayer, hoy y mañana . — Boston: Birkhäuser, 2011. — 189 págs. - ISBN 978-0-8176-8091-6 .

A. Ya. Khinchin. Tres gemas de la teoría de números . - Moscú: "Nauka", 1979. - 66 p. (Ruso)

M.Walters. Demostraciones combinatorias del teorema polinómico de van der Waerden y el teorema polinomial de Hales-Jewett // Revista de la Sociedad Matemática de Londres. - 2000. - vol. 61 , edición. 1 . — Pág. 1–12 .

V. Bergelson, A. Leibman. Extensiones polinómicas de los teoremas de van der Waerden y Szemerédi // Journal of the American Mathematical Society. - 1996. - vol. 9 , edición. 3 . — pág. 725–753 .

R.Graham. Inicios de la Teoría de Ramsey . - Moscú: "Mir", 1984. - 97 p. (Ruso)

P. Erdős, R. L. Graham. Viejos y nuevos problemas y resultados en la teoría de números combinatorios // L'Enseignement Mathematique. - 1980. - vol. 25 . — págs. 325–344 .

W. Deuber, R. L. Graham, H. J. Promel, B. Voigt. Un teorema de partición canónica para relaciones de equivalencia en ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{t))$ (inglés) // Journal of Combinatorial Theory, Serie A. - 1983. - Vol. 34 , edición. 3 . — págs. 331–339 .

HJ Promel, V. Rodl. Una prueba elemental de la versión canonizante del teorema de Gallai-Witt (inglés) // Journal of Combinatorial Theory, Serie A. - 1986. - Vol. 42 , edición. 1 . — pág. 144–149 .

RL Graham, BL Rothschild, JH Spencer. Teoría de Ramsey . - 2ª ed. - Una publicación de wiley-interscience, 1990. - 196 p. - ISBN 0-471-50046-1 .

H. Lefmann. Una versión canónica para sistemas regulares de partición de ecuaciones lineales (inglés) // Journal of Combinatorial Theory, Serie A. - 1986. - Vol. 41 , edición. 1 . — pág. 95–104 .

E. Witt. Ein kombinatorischer Satz der Elementargeometrie (alemán) // Mathematishe Nachrichten. — 1952.

A. Girao. Un polinomio canónico Teorema de Van der Waerden . - 2020. - arXiv : 2004.07766 .

J. Fox, Y. Wigderson, Y. Zhao. Una breve prueba del polinomio canónico teorema de van der Waerden . - 2020. - arXiv : 2005.04135 .

S. Peluse, S. Prendiville. Un límite polilogarítmico en el teorema de Roth no lineal . - 2020. - arXiv : 2003.04122 .

N. Lyall. Una nueva demostración del teorema de Sarkozy // Actas de la American Mathematical Society. - 2011. - vol. 141 , edición. 7 . -arXiv : 1107.0243 . _

T. Schoen, I.D. Shkredov. El teorema de Roth en muchas variables // Israel Journal of Mathematics. - 2014. - Vol. 199 . — pág. 287–308 . -arXiv : 1106.1601 . _

T. Schoen, O. Sisask. Teorema de Roth para cuatro variables y estructuras aditivas en sumas de conjuntos dispersos // Foro de Matemáticas, Sigma. - 2016. - Vol. 4 . - arXiv : 1408.2568 .

Notas

↑ Shkrédov, 2006 , pág. 112-114
↑ Graham, 1984 , pág. Dieciocho.
↑ Soifer, 2011 , pág. 2.7.
↑ Khinchin, 1979 , pág. 7-8.
↑ Graham, 1984 , pág. 17
↑ Ver varias presentaciones en Khinchin, 1979 , p. 9-13, Graham, 1984 , pág. 18-21, Shkredov, 2006 , pág. 118-119
↑ Basta tomar números para que, según el principio de Dirichlet , haya dos números del mismo color entre ellos. $r+1$
↑ Otro significaría la presencia de una progresión de longitud , y entonces no hay nada que probar $k$
↑ Khinchin, 1979 , pág. 9-13, ver fórmula (5) y el siguiente párrafo, donde hay una transición a la consideración de la -ésima progresión del -ventilador $r$ $s$
↑ Con el desarrollo del estudio del teorema de Szemeredy , se utilizaron activamente métodos efectivos de la teoría ergódica para probar sus generalizaciones polinómicas (ver Bergelson, Leibman, 1996 ). Más tarde se publicó una demostración elemental de una generalización polinomial sin combinación con una generalización como el teorema de Szemerédy.
↑ Walters, 2000 , consulte "Hipótesis de inducción" en la pág. 3
↑ A menudo llamado "teorema de Gallai-Witt" en la literatura inglesa.
↑ Graham, 1984 , pág. 24
↑ Graham, 1984 , pág. 24-25.
↑ Graham, 1984 , pág. 26
↑ Graham, Rothschild, Spencer, 1990 , pág. 40-41.
↑ Y, además, la densidad superior no es menor que , donde está el número de colores ${\ estilo de visualización 1/r}$ $r$
↑ Bergelson, Leibman, 1996 .
↑ Por ejemplo, puedes colorear cada número de tu propio color, es decir, asignar ${\ estilo de visualización c (x): = x}$
↑ Erdős, Graham, 1980 , p. 333, véase "La existencia de está garantizada por el teorema de Szemerédi". $H(n)$
↑ Deuber, Graham, Promel, Voigt, 1983 .
↑ Promel, Rödl, 1986 .
↑ Schön, Shkredov, 2014 .
↑ Schoen, Sisask, 2016 .
↑ Lyall, 2011 .
↑ Peluse, Prendiville, 2020 .