El conjunto sin suma

Un conjunto sin suma : un conjunto que no incluye las sumas de sus elementos, se usa en combinatoria aditiva y teoría de números aditivos . Formalmente, un subconjunto de un grupo abeliano no tiene suma si su conjunto de suma no se cruza con . En otras palabras, es de suma libre si la ecuación no tiene solución para . $A$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización A + A}$ $A$ $A$ ${\ estilo de visualización a + b = c}$ ${\ estilo de visualización a, b, c \ en A}$

Por ejemplo, el conjunto de números impares es un subconjunto de enteros sin suma, y el conjunto forma un subconjunto sin suma del conjunto (para pares ). $\{N/2+1,\puntos,N\}$ ${\ estilo de visualización \ {1, \ puntos, N \}}$ $norte$

El último teorema de Fermat establece que el conjunto de potencias distintas de cero es un subconjunto de enteros libre de enteros para . $norte$ $norte > 2$

Algunas preguntas sobre conjuntos sin suma:

¿Cuántos subconjuntos libres de suma del conjunto existen para un dado ? Ben Green [1] y Alexander Sapozhenko [2] han demostrado que la respuesta es , como se sugiere en la conjetura de Cameron-Erdős [3] [4] . ${\ estilo de visualización \ {1, \ puntos, N \}}$ $norte$ $O(2^{{N/2}})$
¿Cuántos subconjuntos sin suma contiene un grupo abeliano ? [5] $GRAMO$
¿Cuál es el tamaño del subconjunto libre de suma más grande contenido en un grupo abeliano ? [5] $GRAMO$

Un conjunto de suma libre se llama máximo si no hay ningún conjunto mayor de suma libre que lo contenga.

Enlaces

↑ Ben Green, La conjetura de Cameron-Erdős , Boletín de la London Mathematical Society 36 (2004) pp.769-778
↑ Sapozhenko, Alexander Antonovich ( 2003 ), La conjetura de Cameron-Erdős, Informes de la Academia de Ciencias , Vol. 393 (6): 749–752
↑ PJ Cameron y P. Erdős, Sobre el número de conjuntos de enteros con varias propiedades , Teoría de números (Banff, 1988), de Gruyter, Berlín 1990, pp.61-79
↑ Véase también A007865
↑ 1 2 Ben Green e Imre Ruzsa, Conjuntos sin suma en grupos abelianos , 2005.