Teorema de compartir pizza

El teorema de la división de pizza establece que las áreas de dos áreas obtenidas al cortar un círculo de cierta manera son iguales .

El nombre del teorema refleja la técnica clásica de corte de pizza . El teorema muestra que si dos personas cortan una pizza de esta manera y se turnan para tomar las rebanadas, cada persona obtendrá la misma cantidad de pizza.

Enunciado del teorema

Sea p un punto interior del disco y sea n un múltiplo de 4 y al menos 8. Cortemos el disco en n sectores con ángulos iguales (igual a radianes ) a lo largo de líneas que pasan por el punto p . Numeramos los sectores secuencialmente en sentido horario o antihorario. Entonces el teorema de la pizza establece que:

La suma de las áreas de los sectores impares es igual a la suma de las áreas de los sectores pares [2] .

Historia

El teorema de compartir pizza fue propuesto originalmente como un problema de desafío por Leslie Upton ( ing.  LJ Upton ) [2] . La solución publicada a este problema por Michael  Goldberg utilizó una aplicación directa de expresiones algebraicas para las áreas de los sectores.

L. Carter ( ing.  Larry Carter ) y S. Wagon ( ing.  Stan Wagon ) [1] dieron una prueba alternativa cortando . Mostraron cómo cortar sectores en piezas más pequeñas para que cada pieza en un sector impar tenga una pieza congruente en un sector par y viceversa. G. Frederickson ( ing.  Greg Frederickson ) [3] proporcionó una familia de pruebas de disección para todos los casos (en las que el número de sectores es 8, 12, 16, ... ).

Generalizaciones

El requisito de que el número de sectores sea un múltiplo de cuatro es esencial; esto lo demostró Don Coppersmith ; dividir el disco en cuatro sectores, o un número de sectores que no es divisible por cuatro, por lo general no da áreas iguales. Marby ( ing.  Rick Mabry ) y Dierman ( ing.  L. Paul Deiermann ) [4] respondieron la solución de Carter y Wagon [5] , dando una versión más precisa del teorema , que determina cuál de los conjuntos de sectores tendrá un área grande si las áreas no son iguales. En particular, si el número de sectores es comparable a 2 ( mod 8) y ninguno de los cortes pasa por el centro del disco, entonces el subconjunto de piezas que contiene el centro tiene un área menor; mientras que en el caso de que el número de sectores sea comparable a 6 (mod 8) y ninguno de los cortes pase por el centro, el conjunto de piezas que contiene el centro tiene una gran superficie. Un número impar de sectores es imposible con cortes rectos, y un corte a través del centro hace que ambos conjuntos de sectores tengan el mismo área, independientemente del número de sectores.

Marby y Dyerman [4] también notaron que en el caso de que la pizza se divida en partes iguales, el borde también se divide en partes iguales (el borde puede considerarse el perímetro de la pizza o el área entre el borde del círculo (pizza ) y un círculo más pequeño con el mismo centro, siempre que el punto de división se encuentre en este círculo más pequeño), ya que los discos limitados por ambos círculos se dividen por igual, también lo hará su diferencia. Sin embargo, si la pizza no está dividida uniformemente, el comensal que obtiene la mayor parte de la pizza obtiene una porción más pequeña del borde.

Como señalaron los Hischhorn [6] , la división equitativa de una pizza también da como resultado una división equitativa de su cobertura si la cobertura se distribuye en un círculo (no necesariamente concéntrico al círculo de la pizza) que contiene el punto central p de la división en sectores.

Una generalización del teorema de la pizza para una pelota n-dimensional fue propuesta en el trabajo de Yu. A. Brailov: un conjunto de hiperplanos, que tiene una propiedad similar, corresponde a un grupo de reflexión finito de tipo B_n [7] .

Resultados relacionados

Los Hirshhorns [6] demostraron que una pizza cortada como en el teorema de la pizza en n sectores con ángulos iguales, donde n es divisible por cuatro, se puede dividir en partes iguales entre n /4 personas. Por ejemplo, una pizza dividida en 12 sectores se puede dividir en partes iguales entre tres personas. Sin embargo, para repartir una pizza entre cinco personas, se requiere dividir la pizza en 20 sectores.

Cybulka, Kinchl et al. [8] y Knauer, Micek, Jokordt [9] estudiaron el juego de elegir porciones de pizza gratis para garantizar la mayoría, problema propuesto por Dan Brown y Peter Winkler . En la versión del problema que estudiaron, la pizza se divide radialmente (sin garantía de que los ángulos de los sectores sean iguales) y los dos comensales eligen alternativamente rebanadas de pizza que están adyacentes a los sectores que ya han comido. Si dos comensales intentan maximizar la cantidad de pizza consumida, entonces el comensal que toma la primera rebanada puede garantizarse 4/9 de la pizza entera, y hay cortes de pizza en los que no puede obtener más. El problema de división justa o división del pastel considera juegos similares en los que diferentes jugadores tienen diferentes criterios para medir el tamaño de su parte. Por ejemplo, un comensal podría preferir más pepperoni , mientras que otro podría preferir el queso [10] .

Véase también

Otros cálculos matemáticos cercanos a la división de pizza incluyen las secuencias perezosas de proveedores  , una secuencia de números enteros que representan el número máximo de porciones de pizza que se pueden obtener mediante cortes directos, así como el teorema del sándwich al cortar objetos tridimensionales, de los dos versión bidimensional de la que se sigue que la pizza es incluso fea, la forma se puede dividir por la mitad a lo largo del área y a lo largo del borde al mismo tiempo mediante un corte, y de la versión tridimensional del teorema se sigue que hay un plano que divide por igual la base y el relleno.

Notas

  1. ↑ 12 Carter, Vagón, 1994a .
  2. ↑ 12 Upton , 1968 .
  3. ↑ Frederickson, 2012 .
  4. ↑ 1 2 Mabry, Deiermann, 2009 .
  5. ↑ Carter, Vagón, 1994b .
  6. ↑ 12 Hirschhorns , 1999 .
  7. ↑ Brailov Yu. A. Grupos de reflexión y el teorema de la pizza  // Algebra i Analiz. - 2021. - T. 33 , n. 6 _ - S. 1-8 . Archivado desde el original el 28 de noviembre de 2021.
  8. ↑ Cibulka, Kynčl et al., 2010 .
  9. ↑ Knauer, Micek, Ueckerdt, 2011 .
  10. ↑ ON Musina, E. F. Ott. Nuevos productos funcionales: queso blando "Globozum" y queso semiduro "Pladolens" // Fabricación de queso y mantequilla. - 2019. - Emisión. 2 . — P. 14–16 . — ISSN 2073-4018 . -doi : 10.31515 / 2073-4018-2019-2-14-16 .

Literatura