Teoría de campos

La teoría de campos  es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los campos , es decir, estructuras que generalizan las propiedades de suma, resta, multiplicación y división de números .

Historia

• En las décadas de 1820 y 1830, Niels Abel y Évariste Galois utilizaron implícitamente el concepto de campo en su trabajo sobre la resolución de ecuaciones en radicales.
• En 1871, Richard Dedekind llamó "campo" a un subconjunto de números reales o complejos que se cierra bajo cuatro operaciones matemáticas.
• En 1881, Leopold Kronecker estudió las propiedades de los campos numéricos algebraicos , llamándolos "regiones de racionalidad".
• En 1893, Heinrich Weber dio la primera definición clara de un campo abstracto.
• En 1910, Ernst Steinitz publicó la famosa obra Algebraische Theorie der Körper ( en alemán : Teoría algebraica de campos), en la que desarrolló la teoría axiomática de campos y propuso muchos conceptos importantes como el campo primo , el campo perfecto y el grado de trascendencia de un campo. extensión de campo .

Conmutatividad de campos

Las primeras definiciones de un campo no incluían el requisito de que la multiplicación sea conmutativa, pero el término moderno "campo" siempre implica que es conmutativo. Una estructura que satisface todas las propiedades de un campo, excepto la conmutatividad de la multiplicación, en la tradición rusa se llama cuerpo . Sin embargo, en alemán el campo se llama Körper (de ahí que la letra se use a menudo para denotar el campo), y en francés - corps , que también se traduce como "cuerpo".

Aplicaciones de la teoría de campos

El concepto de campo se utiliza, por ejemplo, en la definición de un espacio vectorial , y por lo tanto es de gran importancia en álgebra lineal . De manera similar, una variedad algebraica  , el principal objeto de estudio en geometría algebraica  , se define sobre un campo arbitrario. La teoría de números algebraicos se ocupa del estudio de las propiedades de los campos numéricos algebraicos y sus anillos de números enteros; y, por supuesto, utiliza los resultados de la teoría clásica de campos.

Los campos finitos se utilizan en teoría de números y teoría de codificación . En particular, los campos de la característica 2 son útiles para considerar en informática .

Algunos teoremas útiles

• teorema del elemento primitivo
• El pequeño teorema de Wedderburn
• Teorema fundamental de la teoría de Galois

Véase también

• Teoría de Galois

Notas

• Allenby, R. B. J. T. Anillos, campos y grupos  (indefinido) . — Butterworth-Heinemann, 1991.
• Blyth, T. S.; Robertson, E. F. Grupos, anillos y campos : Álgebra a través de la práctica, Libro 3  . — Prensa de la Universidad de Cambridge , 1985.
• Blyth, T. S.; Robertson, E. F. Anillos, campos y módulos: Álgebra a través de la práctica, Libro  6 . — Prensa de la Universidad de Cambridge , 1985.