Tetraedro de Goursat

El tetraedro de Goursat es el área tetraédrica fundamental de la construcción de Wythoff . Cada cara del tetraedro representa un hiperplano de espejo en una superficie tridimensional: 3 esferas , espacio tridimensional euclidiano y espacio tridimensional hiperbólico. Coxeter nombró el área en honor a Édouard Gours , quien primero llamó la atención sobre estas áreas. El tetraedro de Goursat es una extensión de la teoría de los triángulos de Schwartz para construir el Wythoff sobre una esfera.

Representación gráfica

El tetraedro de Goursat se puede representar gráficamente mediante un gráfico tetraédrico, que es la configuración dual del dominio fundamental como tetraedro. En este gráfico, cada nodo representa una cara (espejo) del tetraedro de Goursat. Cada borde está etiquetado con un número racional correspondiente al orden de reflexión, que es ⁄ ángulo diedro .

El diagrama de Coxeter-Dynkin de 4 vértices representa estos gráficos tetraédricos con aristas ocultas de segundo orden. Si muchas aristas son de orden 2, el grupo de Coxeter se puede representar con notación de paréntesis .

Para que exista un tetraedro de Goursat, cada uno de los subgrafos de 3 vértices de ese gráfico, (pqr), (pus), (qtu) y (rst), debe corresponder a un triángulo de Schwartz .

Simetría externa

La simetría extendida del tetraedro de Goursat es el producto semidirecto del grupo de simetría de Coxeter y el dominio fundamental de simetría (el tetraedro de Goursat, en este caso). Coxeter admite esta simetría como paréntesis anidados, como [Y[X]], lo que significa el grupo completo de Coxeter de simetría [X], con Y como la simetría tetraédrica de Goursat. Si Y es una simetría especular pura, el grupo representará otro grupo de reflejos de Coxeter. Si solo hay una simetría de duplicación simple, Y se puede expresar explícitamente, como [[X]] con simetría especular o rotacional, según el contexto.

La simetría extendida de cada tetraedro de Goursat se muestra a continuación. La simetría más alta posible está en el tetraedro regular , [3,3], y se logra en el grupo de puntos prismáticos [2,2,2], o [2 [3,3] ], y en el grupo hiperbólico paracompacto [ 3 [3,3] ].

Ver simetrías de tetraedro para 7 simetrías de tetraedro de bajo orden.

Número total de soluciones

Las siguientes secciones muestran todo el conjunto completo de soluciones de tetraedros de Goursat para 3 esferas, 3 espacios euclidianos y 3 espacios hiperbólicos. También se indica la simetría extendida de cada tetraedro.

Los diagramas tetraédricos coloreados a continuación son figuras de vértice de poliedros truncados y panales de cada familia de simetrías. Las etiquetas de borde representan los órdenes de las caras poligonales, que son el doble de los órdenes de ramificación del gráfico de Coxeter. El ángulo diedro de la arista marcada como 2n es . Los bordes amarillos marcados con 4 se obtienen del ángulo recto de los espejos (nodos) (no conectados) del diagrama de Coxeter.

Soluciones (finitas) en las 3 esferas

Soluciones para 3 esferas con densidad 1: ( poliedros uniformes )

Grupo y diagrama de Coxeter	[2,2,2]	[p, 2, 2]	[p, 2, q]	[p, 2, p]	[3,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Orden de grupo de simetría	dieciséis	8p _	4pq _	4p2 _ _	48	96	240
Simetrías del tetraedro	[3,3] (orden 24)	[2] (orden 4)	[2] (orden 4)	[2 + ,4] (orden 8)	[ ] (orden 2)	[ ] + (orden 1)	[ ] + (orden 1)
simetrías extendidas	[(3,3)[2,2,2]] =[4,3,3]	[2[p,2,2]] =[2p,2,4]	[2[p,2,q]] =[2p,2,2q]	[(2 + ,4)[p,2,p]] =[2 + [2p,2,2p]]	[1[3,3,2]] =[4,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Orden de grupos de simetría extendida	384	32p _	16pq _	32p2 _ _	96	96	240

Tipo de gráfico	Lineal				trifoliado
Grupo y diagrama de Coxeter	Cinco celdas [3,3,3]	Dieciséis celdas [4,3,3]	Veinticuatro celdas [ 3,4,3 ] [ ]]	600 celdas [ 5,3,3 ] [5,3,3]	Semiteseracto [3 1,1,1 ]
Figura de vértice de poliedros uniformes truncados
tetraedro
Orden de grupo de simetría	120	384	1152	14400	192
simetría tetraédrica	[2] + (orden 2)	[ ] + (orden 1)	[2] + (orden 2)	[ ] + (orden 1)	[3] (orden 6)
Simetría extendida	[2 + [3,3,3]]	[4,3,3]	[2 + [3,4,3]]	[5,3,3]	[3[3 1,1,1 ]] =[3,4,3]
Orden del grupo de simetría extendida	240	384	2304	14400	1152

Soluciones en 3 espacios Euclidianos

Density Solutions 1: Nido de abeja uniforme convexo :

Tipo de gráfico	Lineal	trifoliado	Anillo	Prismático			degenerar
Grupo de Coxeter Diagrama de Coxeter	[4,3,4	[4.3 1.1 ]	[3 [4] ]	[4,4,2]	[6,3,2]	[3 [3] ,2]	[∞,2,∞]
Figura de vértice de panales totalmente truncados
tetraedro
simetría tetraédrica	[2] + (orden 2)	[ ] (orden 2)	[2 + ,4] (orden 8)	[ ] (orden 2)	[ ] + (orden 1)	[3] (orden 6)	[2 + ,4] (orden 8)
Simetría extendida	[(2 + )[4,3,4]]	[1[4.3 1.1 ]] =[4,3,4]	[(2 + ,4)[3 [4] ]] =[2 + [4,3,4]]	[1[4,4,2]] =[4,4,2]	[6,3,2]	[3[3 [3] ,2]] =[3,6,2]	[(2 + ,4)[∞,2,∞]] =[1[4,4]]

Soluciones para 3 espacios hiperbólicos

Soluciones de densidad 1: ( Panales homogéneos convexos en espacio hiperbólico ) ( Compacto (grupos simples de Lanner) )

Tipo de gráfico	Lineal			trifoliado
Grupo de Coxeter Diagrama de Coxeter	[3,5,3]	[5,3,4]	[5,3,5]	[5.3 1.1 ]
Figuras de vértice de panales totalmente truncados
tetraedro
simetría tetraédrica	[2] + (orden 2)	[ ] + (orden 1)	[2] + (orden 2)	[ ] (orden 2)
Simetría extendida	[2 + [3,5,3]]	[5,3,4]	[2 + [5,3,5]]	[1[5.3 1.1 ]] =[5,3,4]
Tipo de gráfico	Anillo
Grupo de Coxeter Diagrama de Coxeter	[(4,3,3,3)]	[(4,3) 2 ]	[(5,3,3,3)]	[(5,3,4,3)]	[(5,3) 2 ]
Figuras de vértice de panales totalmente truncados
tetraedro
simetría tetraédrica	[2] + (orden 2)	[2,2] + (orden 4)	[2] + (orden 2)	[2] + (orden 2)	[2,2] + (orden 4)
Simetría extendida	[2 + [(4,3,3,3)]]	[(2,2) + [(4,3) 2 ]]	[2 + [(5,3,3,3)]]	[2 + [(5,3,4,3)]]	[(2,2) + [(5,3) 2 ]]

Soluciones en 3 espacios hiperbólicos paracompactos

Soluciones de densidad 1: (Ver Paracompact (grupos de Kozul simples) )

Tipo de gráfico	gráficos de líneas
Grupo de Coxeter Diagrama de Coxeter	[6,3,3]	[3,6,3]	[6,3,4]	[6,3,5]	[6,3,6]	[4,4,3]	[4,4,4]
simetría tetraédrica	[ ] + (orden 1)	[2] + (orden 2)	[ ] + (orden 1)	[ ] + (orden 1)	[2] + (orden 2)	[ ] + (orden 1)	[2] + (orden 2)
Simetría extendida	[6,3,3]	[2 + [3,6,3]]	[6,3,4]	[6,3,5]	[2 + [6,3,6]]	[4,4,3]	[2 + [4,4,4]]
Tipo de gráfico	Gráficos de anillo
Grupo de Coxeter Diagrama de Coxeter	[3 [ ]×[ ] ]	[(4,4,3,3)]	[(4 3 ,3)]	[4 [4] ]	[(6,3 3 )]	[(6,3,4,3)]	[(6,3,5,3)]	[(6,3) [2] ]
simetría tetraédrica	[2] (orden 4)	[ ] (orden 2)	[2] + (orden 2)	[2 + ,4] (orden 8)	[2] + (orden 2)	[2] + (orden 2)	[2] + (orden 2)	[2,2] + (orden 4)
Simetría extendida	[2[3 [ ]×[ ] ]] =[6,3,4]	[1[(4,4,3,3)]] =[3.4 1.1 ]	[2 + [(4 3 ,3)]]	[(2 + ,4)[4 [4] ]] =[2 + [4,4,4]]	[2 + [(6,3 3 )]]	[2 + [(6,3,4,3)]]	[2 + [(6,3,5,3)]]	[(2,2) + [(6,3) [2] ]]
Tipo de gráfico	trifoliado			anillo de cola				silex
Grupo de Coxeter Diagrama de Coxeter	[6.3 1.1 ]	[3.4 1.1 ]	[4 1,1,1 ]	[3,3 [3] ]	[4,3 [3] ]	[5,3 [3] ]	[6,3 [3] ]	[3 [3,3] ]
simetría tetraédrica	[ ] (orden 2)	[ ] (orden 2)	[3] (orden 6)	[ ] (orden 2)	[ ] (orden 2)	[ ] (orden 2)	[ ] (orden 2)	[3,3] (orden 24)
Simetría extendida	[1[6.3 1.1 ]] =[6,3,4]	[1[3.4 1.1 ]] =[3,4,4]	[3[4 1,1,1 ]] =[4,4,3]	[1[3,3 [3] ]] =[3,3,6]	[1[4,3 [3] ]] =[4,3,6]	[1[5,3 [3] ]] =[5,3,6]	[1[6,3 [3] ]] =[6,3,6]	[(3,3)[3 [3,3] ]] =[6,3,3]

Decisiones Racionales

Hay cientos de soluciones racionales para 3 esferas , incluidos estos 6 gráficos lineales que forman poliedros de Schläfli-Hess y 11 no lineales:

Véase también

• Grupo de simetría puntual para soluciones n -simplex en la ( n - 1) -esfera.

Notas

Literatura

• Coxeter HCM Tabla 3: Triángulos de Schwarz //Politopos regulares (libro) . - Tercera edicion. - Edición Dover, 1973. - S.  280 , Tetraedros de Goursat. — ISBN 0-486-61480-8 .

• NW Johnson . La teoría de politopos uniformes y panales. - Universidad de Toronto, 1966. - (Tesis doctoral). Johnson demostró que la enumeración de Coxeter de los tetraedros de Goursat está completa.
• Eduardo Goursat. Sur les sustituciones ortogonales et les divisiones régulières de l'espace // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 1889. - Emisión. 6 _ — págs. 9–102, 80–81 tetraedros .
• Klitzing, Richard. Diagramas de Dynkin Tetraedros de Goursat
• NW Johnson . Capítulos 11,12,13 // Geometrías y Transformaciones. — 2015.
• Johnson NW, Kellerhals R., Ratcliffe JG, Tschantz ST Grupos de transformación // El tamaño de un Coxeter simplex hiperbólico . - 1999. - T. 4. - S. 329–353.