La construcción de Wythoff , o construcción de Wythoff [1] es un método para construir poliedros uniformes o mosaicos en un plano. El método lleva el nombre del matemático W. A. Wiethoff . El método de construcción de Wythoff a menudo se denomina construcción de caleidoscopio .
La construcción se basa en la idea de mosaicos en una esfera usando triángulos esféricos - ver triángulos de Schwartz . Esta construcción utiliza reflexiones sobre los lados de un triángulo como un caleidoscopio . Sin embargo, a diferencia de un caleidoscopio, los reflejos no son paralelos, sino que se cruzan en un punto. Múltiples reflejos forman múltiples copias del triángulo. Si las esquinas de un triángulo esférico se eligen correctamente, los triángulos forman mosaicos en la esfera una o más veces.
Colocando un punto en un lugar adecuado dentro de un triángulo esférico rodeado de espejos, se puede lograr que los reflejos de este punto den un poliedro uniforme. Para un triángulo esférico ABC, hay cuatro posiciones que dan un poliedro uniforme:
El proceso es generalmente aplicable para obtener politopos regulares en espacios de mayores dimensiones, incluyendo politopos homogéneos de 4 dimensiones .
Un prisma hexagonal se construye a partir de la familia (6 2 2) y la familia (3 2 2). |
El mosaico cuadrado truncado se construye usando dos posiciones diferentes en la familia (4 4 2). |
Los poliedros uniformes que no se pueden construir utilizando la construcción de espejo de Wythoff se denominan poliedros no Wythoff. Ellos, en el caso general, se pueden obtener de las construcciones de Wythoff alternando (borrando los vértices a través de uno) o insertando filas alternas de algunas figuras. Ambos tipos de tales figuras tienen simetría rotacional. Los puntos de corte a veces se consideran Sin corte aunque se pueden obtener alternando las cifras de corte en todos los lados.
Un antiprisma hexagonal se construye usando una alternancia de un prisma dodecagonal . |
Un mosaico triangular alargado se construye alternando filas de un mosaico cuadrado y un mosaico triangular . |
El gran birombicosidodecaedro es el único poliedro uniforme sin Withoff. |
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