Área fundamental

Dado un espacio topológico y un grupo de acción en él, las imágenes de un solo punto bajo la acción del grupo de acción forman órbitas de acción . Una región fundamental es un subconjunto del espacio que contiene exactamente un punto de cada órbita. Da una realización geométrica de un conjunto abstracto de representantes de órbitas.

Hay muchas maneras de elegir una región fundamental. Por lo general, se requiere que el dominio fundamental sea un subconjunto conectado con algunas restricciones en los límites, como que sean suaves o poliédricos. Las imágenes del área fundamental seleccionada bajo la acción del grupo forman un mosaico en el espacio. Una de las principales construcciones de las regiones fundamentales se basa en los diagramas de Voronoi .

Sugerencias para una definición general

Dada una acción de un grupo G sobre un espacio topológico X por medio de homeomorfismos , el dominio fundamental para tales acciones es el conjunto D de órbitas representativas. Por lo general, se requiere que este conjunto sea topológicamente simple y se defina en una de varias formas específicas. La condición habitual es que D sea un conjunto casi abierto en el sentido de que D debe ser la diferencia simétrica de un conjunto abierto en G con un conjunto de medida cero para alguna medida (cuasi ) invariante en X. El dominio fundamental siempre contiene un conjunto regular libre U , un conjunto abierto , que se mueve por la acción de G en copias desconectadas y, casi como D , representa órbitas. A menudo se requiere que D sea un conjunto completo de clases laterales con algunas repeticiones, pero que la parte de repetición sea de medida cero. Esta es una situación común en las teorías ergódicas . Si el dominio fundamental se usa para evaluar la integral en X / G , el conjunto de medida cero no juega ningún papel.

Por ejemplo, si X es un espacio euclidiano R n de n dimensiones y G es una red Z n que actúa sobre él como una traslación paralela , el espacio cociente de X / G será un toro de n dimensiones . Se puede tomar como dominio fundamental D [0,1) n , que se diferencia del conjunto abierto (0,1) n por un conjunto de medida cero, o del cubo unitario cerrado [0,1] n , cuya frontera consiste en puntos cuyas órbitas tienen más de un representante en D .

Ejemplos

Ejemplos en el espacio euclidiano tridimensional R 3 .

• para rotación de n veces: la órbita consta de n puntos alrededor de un eje o de un solo punto en un eje; área fundamental - sector
• para la reflexión especular relativa a un plano: la órbita consta de dos puntos, uno en lados opuestos del plano, o de un solo punto en el plano; la región fundamental es el semiespacio acotado por este plano
• para simetría central: la órbita consta de dos puntos en lados opuestos del centro, con la excepción de una sola órbita del propio centro; región fundamental - cualquier semiespacio delimitado por un plano que pasa por el centro
• para una rotación de 180° alrededor de un eje: la órbita consta de dos puntos en lados opuestos de la línea recta, o de un solo punto en la línea recta misma; región fundamental - cualquier semiespacio delimitado por un plano que pasa por el eje de simetría
• para transferencia paralela discreta en una dirección: las órbitas forman una red unidimensional en la dirección del vector de transferencia; región fundamental - una región infinita entre dos planos paralelos
• para transferencia paralela discreta en dos direcciones: las órbitas forman una red bidimensional en las direcciones de los vectores de transferencia; la región fundamental tiene un paralelogramo en la sección transversal
• para transferencia paralela discreta en tres direcciones: las órbitas forman una red; área fundamental - celda elemental , que es, por ejemplo, un paralelepípedo , o una celda de Wigner-Seitz , que también se denomina celda/ diagrama de Voronoi .

En el caso de que el transporte paralelo se combine con otros tipos de simetrías, la región fundamental será parte de la celda unitaria. Por ejemplo, para grupos de simetría plana , la región fundamental es 1, 2, 3, 4, 6, 8 o 12 veces más pequeña que la celda primitiva.

Dominio fundamental del grupo modular

El diagrama de la derecha muestra parte de la construcción del dominio fundamental para la acción del grupo modular Γ en el semiplano superior H (aquí, se entiende por semiplano superior la parte del plano complejo con un positivo coeficiente en i ).

Este famoso diagrama aparece en todos los libros clásicos sobre funciones modulares . (Quizás Gauss lo sabía bien , ya que se ocupó de los dominios fundamentales mientras estudiaba la reducción de formas cuadráticas). Aquí, cada dominio triangular (limitado por líneas azules) es un dominio regular libre de acciones de Γ sobre H . Los límites (líneas azules) no forman parte de conjuntos regulares libres. Para construir el dominio fundamental H /Γ, se debe decidir cómo asignar puntos en los límites y se debe tener cuidado de no incluir estos puntos dos veces. Entonces, el conjunto regular gratuito para este ejemplo es

El área fundamental se construye sumando el borde izquierdo, más medio arco desde abajo, incluyendo el punto medio:

La elección de qué puntos incluir varía de un autor a otro.

La principal dificultad para definir el dominio fundamental no radica directamente en la definición del conjunto, sino en cómo trabajar con integrales sobre el dominio fundamental cuando los integrandos tienen polos y ceros en la frontera del dominio.

Véase también

• Conjunto regular gratuito
• Polígono fundamental
• zona de Brillouin
• Par fundamental de períodos
• Producto interno de Petersson
• Área Casp

Enlaces

• Weisstein, Eric W. Dominio fundamental  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .