Simetría tetraédrica

Simetrías de involución C s , (*) [ ] =	Simetría cíclica C nv , (*nn) [n] =	Simetría diedro D nh , (*n22) [n,2] =
Grupos de politopos , [n,3], (*n32)
Simetría tetraédrica T d , (*332) [3,3] =	Simetría octaédrica O h , (*432) [4,3] =	Simetría icosaédrica I h , (*532) [5,3] =

Un tetraedro regular tiene 12 simetrías rotacionales (que conservan la orientación) y [ simetrías de orden 24, que involucran una combinación de reflexiones y rotaciones.

El grupo de todas las simetrías es isomorfo al grupo S 4 , el grupo de permutaciones simétricas de cuatro elementos, ya que existe exactamente una simetría de este tipo para cada permutación de los vértices del tetraedro. El conjunto de simetrías que conservan la orientación forma un grupo que es un subgrupo alternante A 4 del grupo S 4 .

Detalles

Quiral y total (o simetría tetraédrica aquiral y simetría piritoédrica ) son simetrías puntuales discretas (o, de manera equivalente, simetrías en una esfera ). Están incluidos en los grupos de simetría cristalográfica de la sigonía cúbica .

En proyección estereográfica , las aristas del tetraquishexaedro forman 6 círculos (o líneas radiales centrales) en el plano. Cada uno de estos círculos representa un espejo en simetría tetraédrica. La intersección de estos círculos da puntos de rotación de orden 2 y 3.

proyección ortogonal	proyección estereográfica
	4 veces	3x	2 veces
Simetría tetraédrica quiral, T, (332), [3,3] + = [1 + ,4,3 + ],=
Simetría piritoédrica, T h , (3*2), [4,3 + ],
Simetría tetraédrica aquiral, T d , (*332), [3,3] = [1 + 4,3],=

Simetría tetraédrica quiral

T , 332 , [3,3] + , o 23 de orden 12 - simetría tetraédrica quiral o rotacional . Hay tres ejes de rotación ortogonales de 2 pliegues, como la simetría diédrica quiral D 2 o 222, y cuatro ejes adicionales de 3 pliegues. Este grupo es isomorfo a A 4 , un grupo alterno de 4 elementos. De hecho, este es un grupo de permutaciones pares de cuatro ejes de 3 pliegues: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) , (12)(34 ), (13)(24), (14)(23).

Las clases de conjugación de T son:

• identidad
• Rotación de 4 × 120° en el sentido de las agujas del reloj (visto desde arriba): (234), (143), (412), (321)
• Rotación de 4 × 120° en sentido contrario a las agujas del reloj (igual)
• Rotación de 3 × 180°

Las rotaciones de 180° junto con la transformación identidad forman un subgrupo normal de tipo Dih 2 con un grupo factorial de tipo Z 3 . Los tres elementos de este último son la transformación idéntica, "rotación en el sentido de las agujas del reloj" y "rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj", correspondientes a permutaciones de tres ejes ortogonales de 2 pliegues manteniendo la orientación.

Un 4 es el grupo más pequeño que muestra que lo contrario al teorema de Lagrange no es cierto en general, dado un grupo finito G y un divisor d del número | G |, no necesariamente hay un subgrupo del grupo G con orden d — el grupo G = A 4 ​​​​no tiene un subgrupo de orden 6.

Subgrupos de simetría tetraédrica quiral

Shen vellón	coxeter		Orbifold [ es	G-M	Estructura	Ciclos	ordenar	Índice
T	[3,3] +	=	332	23	A4 _		12	una
D2 _	[2,2] +	=	222	222	Dih 2		cuatro	3
C3 _	[3] +		33	3	Z3 _		3	cuatro
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	6
C1 _	[ ] +		once	una	Z1 _		una	12

Simetría tetraédrica aquiral

T d , *332 , [3,3] o 4 3m de orden 24 es una simetría tetraédrica completa o aquiral , también conocida como grupo triangular (2,3,3). Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que T, pero con seis planos de simetría especular que pasan por cada par de ejes triples. Los ejes de 2 pliegues son ahora ejes S 4 ( 4 ). T d y O son isomorfos como grupos abstractos - ambos grupos corresponden a S 4 , el grupo simétrico de 4 elementos. T d es la unión de T y el conjunto obtenido al combinar cada elemento de O\T con simetría central. Véase también isometría de un tetraedro regular .

Las clases de conjugación de T d son:

• identidad
• Rotación de 8 × 120°
• Rotación de 3 × 180°
• 6 × reflexión sobre un plano que pasa por dos ejes de rotación
• Giro del espejo de 6 × 90°

Subgrupos de simetría tetraédrica aquiral

Shen vellón	coxeter		Orbifold [ es	G-M	Estructura	Ciclos	ordenar	Índice
Td _	[3,3]		*332	43m _	S4 _		24	una
C 3v	[3]		*33	3m	Dih 3 = S 3		6	cuatro
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		cuatro	6
cs_ _	[ ]		*	2 o m	Dih 1		2	12
D2d _	[2 + ,4]		2*2	42m _	Dih 4		ocho	3
S4 _	[2 + ,4 + ]		2×	cuatro	Z4 _		cuatro	6
T	[3,3] +		332	23	A4 _		12	2
D2 _	[2,2] +		222	222	Dih 2		cuatro	6
C3 _	[3] +		33	3	Z 3 = A 3		3	ocho
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	12
C1 _	[ ] +		once	una	Z1 _		una	24

Simetría piritoédrica

T h , 3*2 , [4,3 + ] o m 3 de orden 24 - simetría piriteédrica . Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que T con planos de espejo en dos direcciones ortogonales. Los ejes de 3 pliegues son ahora ejes S 6 ( 3 ) y hay simetría central. T h es isomorfo a T × Z 2 — cada elemento de T h es un elemento de T o un elemento combinado con simetría central. Además de estos dos subgrupos normales, existe otro subgrupo normal D 2h ( paralelepípedo rectangular ), de tipo Dih 2 × Z 2 = Z 2 × Z 2 × Z 2 . Es un producto directo de un subgrupo normal T (ver arriba) con C i . El grupo de factores es el mismo que el anterior - Z 3 . Los tres elementos de este último son la transformación de identidad, "rotar en el sentido de las agujas del reloj" y "rotar en el sentido contrario a las agujas del reloj", correspondientes a permutaciones de tres ejes ortogonales de 2 pliegues con orientación preservada.

Esta es la simetría de un cubo, en el que cada cara está dividida por un segmento en dos rectángulos, y dos segmentos no tienen vértices en el mismo borde del cubo. Las simetrías corresponden a permutaciones pares de las diagonales del cubo, junto con una inversión central. La simetría del pentagondodecaedro es extremadamente cercana a la simetría del cubo descrita anteriormente. Se puede obtener un piritoedro a partir de un cubo con caras bisecadas reemplazando rectángulos por pentágonos con un eje de simetría y 4 lados iguales, uno de los lados es diferente en longitud (el que corresponde al segmento que biseca el lado cuadrado del cubo). Es decir, las caras del cubo sobresalen a lo largo del segmento divisorio y el segmento en sí se vuelve más pequeño. La simetría del cubo de cara dividida es un subgrupo del grupo de simetría icosaédrica completa (como un grupo de isometría, no solo como un grupo abstracto) con 4 de 10 ejes de 3 pliegues.

Las clases de conjugación T h incluyen clases de conjugación T con combinaciones de dos de las 4 clases, así como cada clase c con simetría central:

• identidad
• Rotación de 8 × 120°
• Rotación de 3 × 180°
• simetría central
• Giro del espejo de 8 × 60°
• 3 × reflexión especular (relativa al plano)

Subgrupos de simetría piriteédrica

Shen vellón	coxeter		Orbifold [ es	G-M	Estructura	Ciclos	ordenar	Índice
jue _	[3 + ,4]		3*2	metro 3	Un 4 ×2		24	una
D2h _	[2,2]		*222	mmm	Dih 2 × Dih 1		ocho	3
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		cuatro	6
cs_ _	[ ]		*	2 o m	Dih 1		2	12
C 2h	[2 + ,2]		2*	2/m	Z2 × Dih1 _		cuatro	6
S2 _	[2 + ,2 + ]		×	una	2 o Z 2		2	12
T	[3,3] +		332	23	A4 _		12	2
D3 _	[2,3] +		322	3	di 3		6	cuatro
D2 _	[2,2] +		222	222	Dih 4		cuatro	6
C3 _	[3] +		33	3	Z3 _		3	ocho
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	12
C1 _	[ ] +		once	una	Z1 _		una	24

Cuerpos con simetría tetraédrica quiral

El icosaedro, coloreado como un tetraedro chato , tiene simetría quiral.

Sólidos con simetría tetraédrica completa

Véase también

• Simetría octaédrica
• simetría icosaédrica
• Grupo binario de tetraedro

Notas

Literatura

• P. Cromwell. poliedros. - Reino Unido: Cambridge University Press, 1997. - Pág. 295. - ISBN 0-521-55432-2 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Las simetrías de las cosas. - Nueva York: AK Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• HSM Coxeter . Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Publicación Wiley-Interscience, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
• Norman Johnson. Capítulo 11: Grupos de simetría finita // Geometrías y Transformaciones. — 2015.

Enlaces

• Weisstein, Eric W. Tetrahedral group  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .