Identidad capelli

La identidad de Capelli es un análogo de la relación matricial para operadores diferenciales con elementos que no conmutan asociados con la representación del álgebra de Lie . Se utiliza para correlacionar el invariante con el invariante , donde está el proceso de Cayley . Debe su nombre a Alfredo Capelli , quien estableció este resultado en 1887 . $\mathrm{det}(AB) = \mathrm{det}(A) \, \mathrm{det}(B)$ $\mathfrak{gl}_n$ $\mathsf f$ $\Omega \mathsf f$ $\Omega$

Redacción

Sean por ser variables conmutativas y ser el operador de polarización: $x_{ij}$ $yo, j = 1, \puntos, norte$ $mi$

E_{ij} = \sum_{a=1}^n x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja))

La identidad de Capelli establece que los siguientes operadores diferenciales, expresados como determinantes, son iguales:

\begin{vmatrix} E_{11}+n-1 & \cdots &E_{1,n-1}& E_{1n} \\ \vdots& \ddots & \vdots&\vdots\\ E_{n-1,1} & \cdots & E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n} \\ E_{n1} & \cdots & E_{n,n-1}& E_{nn} +0\end {vmatriz} = \begin{vmatriz} x_{11} & \cdots & x_{1n} \\ \vdots& \ddots & \vdots\\ x_{n1} & \cdots & x_{nn} \end{vmatriz} \ begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x_{11)) & \cdots &\frac{\partial}{\partial x_{1n)) \\ \vdots& \ddots & \vdots\\ \frac{ \parcial}{\parcial x_{n1}} & \cdots &\frac{\parcial}{\parcial x_{nn}} \end{vmatrix}.

Ambos lados de esta igualdad son operadores diferenciales. El determinante del lado izquierdo tiene elementos que no conmutan y, cuando se expande, conserva el orden de sus factores de izquierda a derecha. Tal determinante a menudo se llama determinante de columna.[ término desconocido ] , ya que se puede obtener expandiendo el determinante en columnas, a partir de la primera columna. Esto se puede escribir formalmente como

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) A_{\sigma(1),1}A_{\sigma(2),2}\cdots A_{\sigma(n) ,norte},

donde en el producto los elementos de la primera columna vienen primero, luego de la segunda, y así sucesivamente. El determinante en el segundo factor del lado derecho de la igualdad es el proceso de Omega Cayley , y en el primer factor es el determinante de Capelli .

Los operadores E ij se pueden escribir en forma matricial:

E = XD^t,

donde son matrices con elementos E ij , x ij , respectivamente. Si todos los elementos en estas matrices están conmutando, entonces obviamente . La identidad de Capelli muestra que, a pesar de la inconmutabilidad, se le puede dar un significado a la fórmula anterior. El precio de no cambiar es una pequeña corrección: en el lado izquierdo de la igualdad. En el caso general, para matrices no conmutantes, fórmulas como $E, X, D$ $\frac{\parcial}{\parcial x_{ij))$ $\det(E) = \det(X) \det(D^t)$ $(ni)\delta_{ij}$

\det(AB)=\det(A)\det(B)

no existen, y el concepto mismo de un determinante no tiene significado. Por eso la identidad de Capelli sigue siendo algo misteriosa, a pesar de sus numerosas pruebas. Aparentemente no hay una prueba muy corta. Se puede realizar una verificación de identidad directa como un ejercicio relativamente fácil para n = 2, pero ya para n = 3 una verificación directa sería demasiado larga.

Conexión de la teoría de la representación

Considerando la situación general, asumimos que ambos son dos números enteros y son variables conmutativas. Redefine casi lo mismo que antes: $norte$ $metro$ $x_{ij}$ $i = 1, \puntos, norte, \j = 1, \puntos, metro$ $E_{ij}$

E_{ij} = \sum_{a=1}^m x_{ia}\frac{\parcial}{\parcial x_{ja))

con la única diferencia que el índice de sumatorio va de a . Es fácil ver que tales conmutadores de estos operadores satisfacen las siguientes relaciones: $a$ $una$ $metro$

[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}- \delta_{il}E_{kj}

Aquí significa interruptor . Estas son las mismas relaciones que se cumplen para las matrices en las que hay ceros en todas partes, excepto en la posición donde se encuentra el 1. (Estas matrices a veces se denominan unidades de matriz ). Por lo tanto concluimos que el mapeo determina la Representación del álgebra de Lie en el espacio vectorial de polinomios en . $[a,b]$ $ab-ba$ $e_{ij}$ $(yo, j)$ $e_{ij}$ $\pi : e_{ij} \mapsto E_{ij}$ $\mathfrak{gl}_n$ $x_{ij}$

El caso m = 1 y la representación S k C n

Al considerar el caso particular m = 1, tenemos x i1 , que abreviaremos como x i :

E_{ij} = x_i \frac{\parcial}{\parcial x_j}.

En particular, para polinomios de primer grado se puede ver que:

E_{ij} x_k = \delta_{jk} x_i

Por lo tanto, la acción se limita al espacio de polinomios de primer grado exactamente de la misma forma que la acción de las unidades matriciales sobre vectores en . Así, desde el punto de vista de la teoría de la representación , el subespacio de polinomios de primer grado es una subrepresentación del álgebra de Lie , que identificamos con la representación estándar en . Se ve además que los operadores diferenciales conservan el grado de los polinomios y, por lo tanto, los polinomios de cada grado fijo forman una subrepresentación del álgebra de Lie . También se ve que el espacio de polinomios homogéneos de grado k puede ser definido por el tensor de grado simétrico de la representación estándar . $E_{ij}$ $e_{ij}$ $\mathbb{C}^{n}$ $\mathfrak{gl}_n$ $\mathbb{C}^{n}$ $E_{ij}$ $\mathfrak{gl}_n$ $S^k \mathbb{C}^n$ ${\matemáticas C}^{n}$

También se puede definir la estructura del peso máximo de estas representaciones . El monomio es el vector de peso máximo . De hecho, para i < j . Su peso máximo es ( k , 0, … ,0) porque . $x^k_1$ $E_{ij}x^k_1=0$ $E_{ii} x^k_1= k \delta_{i1}x^k_1$

Esta representación a veces se llama la representación bosónica . Fórmulas similares definen la llamada representación fermiónica, donde son variables anticonmutativas. De nuevo, los polinomios de grado k forman una subrepresentación irreducible isomorfa a , es decir, un tensor antisimétrico de grado . El peso máximo de tal representación es (0, …, 0, 1, 0, …, 0). Estas representaciones para k = 1, …, n son representaciones fundamentales . $\mathfrak{gl}_n$ $E_{ij} = \psi_{i}\frac{\parcial}{\parcial \psi_{j))$ $\psi_{yo}$ $\Lambda^k \mathbb{C}^{n}$ $\mathbb{C}^{n}$ $\mathfrak{gl}_n$

Identidad de Capelli para m = 1

Volvamos a la identidad Capelli. Uno puede probar lo siguiente:

\det(E+(ni)\delta_{ij}) = 0, \qquad n>1

La principal motivación para esta igualdad es la siguiente: considerar para algunas variables de conmutación . La matriz tiene rango 1 y por lo tanto su determinante es cero. Los elementos de la matriz están definidos por fórmulas similares, sin embargo, sus elementos no se conmutan. La identidad de Capelli muestra que la identidad conmutativa se puede conservar corrigiendo la matriz . $E^c_{ij} = x_i p_j$ $x_i, p_j$ $E^{c}$ $mi$ $\det(E^{c})=0$ $(ni)\delta_{ij}$ $mi$

Tenga en cuenta también que una identidad similar para el polinomio característico:

\det(t+E+(ni)\delta _{ij})=t^{[n]}+\mathrm {Tr} (E)t^{[n-1]},

donde _ Este es el análogo no conmutativo del simple hecho de que el polinomio característico de una matriz de rango 1 contiene solo los coeficientes primero y segundo. $t^{[k]}=t(t+1) \cdots (t+k-1)$

Considere un ejemplo para n = 2.

\begin{align} & \begin{vmatrix} t+ E_{11}+1 & E_{12} \\ E_{21} & t+ E_{22} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} t+ x_1 \partial_1 +1 & x_1 \parcial_2 \\ x_2 \parcial_1 & t+ x_2 \parcial_2 \end{vmatrix} \\[8pt] & = (t+ x_1 \parcial_1+1 ) ( t+ x_2 \parcial_2)- x_2 \parcial_1 x_1 \parcial_2 \ \[6pt] & = t(t+1)+ t( x_1 \parcial_1 + x_2 \parcial_2) +x_1 \parcial_1 x_2 \parcial_2+x_2 \parcial_2 - x_2 \parcial_1 x_1 \parcial_2 \end{align}

Usando

\parcial_{1}x_{1}=x_{1}\parcial_{1}+1,\parcial_{1}x_{2}=x_{2}\parcial_{1},x_ {1}x_{2}=x_{2}x_{1}

vemos que esto es igual a:

\begin{align} & {} \quad t(t+1)+ t( x_1 \parcial_1 + x_2 \parcial_2) +x_2 x_1 \parcial_1 \parcial_2+x_2 \parcial_2 - x_2 x_1 \parcial_1 \parcial_2 - x_2 \parcial_2 \ \[8pt] & = t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2)=t^{[2]}+ t\,\mathrm{Tr}(E). \end{alinear}

Álgebra envolvente universal y su centro $U(\mathfrak{gl}_n)$

Una propiedad interesante del determinante de Capelli es que conmuta con todos los operadores E ij , es decir, los conmutadores son cero. ${\ estilo de visualización [E_ {ij}, \ det (E + (ni) \ delta _ {ij})]}$

Esta afirmación se puede generalizar de la siguiente manera. Considere cualquier elemento E ij en cualquier anillo que satisfaga la relación del conmutador (por ejemplo, pueden ser operadores diferenciales, como arriba, unidades de matriz e ij o cualquier otro elemento). Definimos los elementos de C k como sigue: $[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}- \delta_{il}E_{kj}$

\det(t+E+(ni)\delta_{ij})=t^{[n]}+\sum_{k=n-1,\dots,0}t^{[k]} C_{k},

dónde $t^{[k]}=t(t+1)\cdots(t+k-1),$

después:

elementos C k conmutan con todos los elementos E ij
Los elementos de C k se pueden representar mediante fórmulas similares al caso conmutativo:

C_k=\sum_{I=(i_1<i_2<\cdots<i_k)} \det(E+(ki)\delta_{ij})_{II},

es decir, son las sumas de los principales menores de la matriz E , módulo las correcciones de Capelli . En particular, el elemento C 0 es el determinante de Capelli discutido anteriormente. $+(ki)\delta_{ij}$

Estas declaraciones están relacionadas con la identidad de Capelli, como se mostrará a continuación, y aparentemente tampoco hay una prueba corta directa para ellas, a pesar de la simplicidad de las formulaciones.

El álgebra envolvente universal se puede definir como el álgebra generada por E ij relacionada solo por las relaciones $U(\mathfrak{gl}_n)$

[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}- \delta_{il}E_{kj}

El enunciado anterior muestra que los elementos C k pertenecen al centro . Además, se puede probar que son generadores libres del centro . A veces se les llama generadores Capelli . Las identidades de Capelli para ellos se considerarán a continuación. $U(\mathfrak{gl}_n)$ $U(\mathfrak{gl}_n)$

Considere un ejemplo con n = 2.

\begin{align} {}\quad \begin{vmatrix} t+ E_{11}+1 & E_{12} \\ E_{21} & t+ E_{22} \end{vmatrix} & = (t+ E_{11 }+1)(t+ E_{22})-E_{21}E_{12} \\ & = t(t+1)+t(E_{11}+E_{22})+E_{11}E_{ 22}-E_{21}E_{12}+E_{22}. \end{alinear}

Se verifica directamente que el elemento conmuta con . (Esto corresponde al hecho obvio de que la matriz identidad conmuta con todas las demás matrices). Más instructivo es verificar la conmutatividad del segundo elemento con . Ejecutémoslo para : $(E_{11}+E_{22})$ $E_{ij}$ $E_{ij}$ $E_{12}$

[E_{12}, E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]

=[E_{12}, E_{11}] E_{22} + E_{11} [E_{12}, E_{22}] - [E_{12}, E_{21}] E_{12} - E_ {21}[E_{12},E_{12}] +[E_{12},E_{22}]

=-E_{12} E_{22} + E_{11} E_{12} - (E_{11}- E_{22}) E_{12} - 0 +E_{12}

=-E_{12} E_{22} + E_{22} E_{12} +E_{12}= -E_{12} + E_{12}=0.

Vemos que el determinante ingenuo no conmuta y la corrección de Capelli es fundamental para pertenecer al centro. $E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}$ $E_{12}$ $+E_{22}$

M arbitrario y pares duales

Volvamos al caso general:

E_{ij} = \sum_{a=1}^m x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja)),

para n y m arbitrarias . La definición de operadores E ij se puede escribir en forma matricial: , donde es una matriz con elementos ; es una matriz con elementos ; es una matriz con elementos . $E = XD^t$ $mi$ $n\veces n$ $E_{ij}$ $X$ $n \veces m$ $x_{ij}$ $D$ $n \veces m$ $\frac{\parcial}{\parcial x_{ij))$

Identidades Capelli-Cauchy-Binet

Para m arbitraria , la matriz E es el producto de dos matrices rectangulares: X y transpuesta a D. Si todos los elementos de estas matrices conmutan, entonces el determinante de la matriz E puede expresarse mediante la llamada fórmula de Binet-Cauchy ] en términos de los menores X y D. Existe una fórmula similar para la matriz E nuevamente por una pequeña tarifa de corrección : $E \rightarrow (E+(ni)\delta_{ij})$

\det(E+(ni)\delta_{ij}) = \sum_{I=(1\le i_1<i_2<\cdots <i_n \le m)} \det(X_{I}) \det(D^t_ {YO})

En particular (similar al caso conmutativo): si m<n , entonces ; en el caso m=n volvemos a la identidad anterior. $\det(E+(ni)\delta_{ij}) =0$

Tenga en cuenta que, de manera similar al caso conmutativo, uno puede expresar no solo el determinante h E , sino también sus menores en términos de los menores X y D :

\det(E+(si)\delta_{ij})_{KL} = \sum_{I=(1\le i_1<i_2< \cdots <i_s \le m)} \det(X_{KI}) \det (D^t_{IL})

Aquí K = ( k 1 < k 2 < … < k s ), L = ( l 1 < l 2 < … < l s ) son múltiples índices arbitrarios; denota , como de costumbre , la submatriz M formada por los elementos de M k a l b . Tenga en cuenta que la corrección de Capelli ahora contiene s en lugar de n como en la fórmula anterior. Tenga en cuenta que para s=1 , la corrección ( s − i ) desaparece y obtenemos simplemente la definición de E como el producto de X y la transposición de D. Nótese también que para K, L arbitrarios , los menores correspondientes no conmutan con todos los elementos de E ij , por lo que la identidad de Capelli existe no solo para los elementos centrales. $M_{KL}$

Como consecuencia de esta fórmula y de la fórmula del polinomio característico del apartado anterior, mencionamos lo siguiente:

\det(t+E+(ni)\delta_{ij}) = t^{[n]}+\sum_{k=n-1,\dots,0}t^{[k]} \sum_{I, J} \det(X_{IJ}) \det(D^t_{JI}),

donde _ Esta fórmula es similar al caso conmutativo, excepto por la corrección en el lado izquierdo y el reemplazo de t n por t [n] en el lado derecho. $I=(1\le i_1<\cdots <i_k \le n),$ $J=(1\le j_1< \cdots <j_k \le n)$ $+(ni)\delta_{ij}$

Relación con pares duales

El interés moderno por estos grupos surgió gracias a Roger Howe , quien los consideró en su teoría de los pares duales . En el caso del primer contacto con estas ideas, estamos ante operadores . Estos operadores conservan el grado de los polinomios. Consideremos polinomios de primer grado: , vemos que se conserva el índice l . Desde el punto de vista de la teoría de la representación, los polinomios de primer grado se pueden identificar con la suma directa de representaciones , aquí el l -ésimo subespacio ( l=1…m ) se genera mediante , i = 1, …, n . Veamos de nuevo el espacio vectorial: $E_{ij}$ $E_{ij} x_{kl} = x_{il} \delta_{jk}$ $\mathbb{C}^n \oplus \cdots \oplus \mathbb{C}^n$ $x_{il}$

\mathbb{C}^n \oplus \cdots \oplus \mathbb{C}^n = \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m .

Este punto de vista da el primer indicio de simetría entre m y n . Para profundizar en esta idea, considere:

E_{ij}^\text{dual} = \sum_{a=1}^n x_{ai}\frac{\partial}{\partial x_{aj}}.

Estos operadores vienen dados por las mismas fórmulas que con la excepción de la renumeración , por lo tanto, por los mismos argumentos, podemos concluir que define la representación del álgebra de Lie en el espacio vectorial de polinomios x ij . Antes de continuar, prestemos atención a la siguiente propiedad: los operadores diferenciales conmutan con los operadores diferenciales . $E_{ij}$ $I izquierda derecha flecha j$ $E_{ij}^\text{doble}$ $\mathfrak{gl}_m$ $E_{ij}^\text{doble}$ $E_{kl}$

El grupo de Lie actúa sobre un espacio vectorial de forma natural. Se puede demostrar que la acción correspondiente del álgebra de Lie viene dada por los operadores diferenciales y, respectivamente. Esto explica la conmutatividad de estos operadores. $GL_n\veces GL_m$ $\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m$ $\mathfrak{gl}_n \times \mathfrak{gl}_m$ $E_{ij}$ $E_{ij}^\text{doble}$

Además, las siguientes propiedades son verdaderas:

Los operadores diferenciales que conmutan son todos los polinomios y solo ellos. $E_{ij}$ $E_{ij}^\text{doble}$
La descomposición de un espacio vectorial de polinomios en una suma directa de productos tensoriales de representaciones irreducibles se puede dar de la siguiente manera: $GL_n$ $GL_m$

\mathbb{C} [x_{ij}] = S(\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m) = \sum_D \rho_n^D \otimes\rho_m^{D'}.

Aquí los términos están indexados por el diagrama de Young D y las representaciones son mutuamente no isomorfas. El diagrama define y viceversa. $\rho^D$ ${D}$ ${D'}$

En particular, una representación de un grupo grande tal que cada representación irreducible aparece solo una vez. $GL_n\veces GL_m$

Es fácil ver un gran parecido con la dualidad Schur-Weil

Generalizaciones

Varios físicos y matemáticos dedicaron sus trabajos a la generalización de la identidad de Capelli, entre ellos: R. Howe, B. Constant [1] [2] , Fields medalist A. Okounkov [3] [4] , A. Sokal , [5] D. Zeilberger. [6]

Presumiblemente, las primeras generalizaciones fueron obtenidas por Herbert Westren Tarnbull ya en 1948, [7] quien encontró una generalización para el caso de matrices simétricas (ver revisión moderna en [5] [6] ).

Las generalizaciones restantes se pueden dividir en varios grupos. La mayoría de ellos se basan en el punto de vista del álgebra de Lie. Tales generalizaciones consisten en reemplazar el álgebra de Lie con un grupo de Lie semisimple [8] y su superálgebra [9] [10] el grupo cuántico , [11] [12] y el posterior desarrollo de tal enfoque [13] . La identidad también se puede generalizar a otros pares duales. [14] [15] Finalmente, podemos considerar no sólo el determinante de la matriz E, sino también su permanente [16] , la huella de sus potencias y el inmanente . [3] [4] [17] [18] Mencionemos algunos trabajos más $\mathfrak{gl}_n$ [ aclarar ] : [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] . Durante mucho tiempo se creyó que la identidad está profundamente relacionada con el grupo semisimple de Lie. Sin embargo, una nueva generalización puramente algebraica de la identidad, que fue encontrada en 2008 [5] por S. Caraciollo, A. Sportiello, A. Sokal, no tiene nada que ver con el álgebra de Lie.

Identidad de Turnbull para matrices simétricas

Considere matrices simétricas

X=\begin{vmatriz} x_{11} & x_{12} & x_{13} &\cdots & x_{1n} \\ x_{12} & x_{22} & x_{23} &\cdots & x_ {2n} \\ x_{13} & x_{23} & x_{33} &\cdots & x_{3n} \\ \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ x_{1n} & x_ {2n} & x_{3n} &\cdots & x_{nn} \end{vmatrix}, D=\begin{vmatrix} 2 \frac{\partial} { \partial x_{11} } & \frac{\partial } {\parcial x_{12}} & \frac{\parcial} { \parcial x_{13}} &\cdots & \frac{\parcial}{\parcial x_{1n} } \\[6pt] \frac{ \parcial} {\parcial x_{12} } & 2 \frac{\parcial} {\parcial x_{22)) & \frac{\parcial} { \parcial x_{23)) &\cdots & \frac{\ parcial}{\parcial x_{2n} } \\[6pt] \frac{\parcial} {\parcial x_{13} } & \frac{\parcial} {\parcial x_{23)) & 2\frac{\ parcial} { \partial x_{33}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{3n} } \\[6pt] \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ \frac {\parcial} {\parcial x_{1n} } & \frac{\parcial} {\parcial x_{2n)) & \frac{\parcial} { \parcial x_{3n)) &\cdots & 2 \frac{ \parcial}{\parcial x_{nn} } \end{vmatriz}

Herbert Turnbull [7] descubrió la siguiente ecuación en 1948 :

{\ estilo de visualización \ det (XD + (ni) \ delta _ {ij}) = \ det (X) \ det (D)}

Se puede encontrar una prueba combinatoria en [6] para otra prueba e interesante[ aclarar ] generalizaciones en [5] ver también la discusión a continuación.

Howe-Umeda-Constant-Sahi identidad para matrices antisimétricas

Considere matrices antisimétricas

X=\begin{vmatrix} 0 & x_{12} & x_{13} &\cdots & x_{1n} \\ -x_{12} & 0 & x_{23} &\cdots & x_{2n} \\ -x_{13} & -x_{23} & 0 &\cdots & x_{3n} \\ \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ -x_{1n} & -x_{2n} & -x_{3n} &\cdots & 0 \end{vmatrix}, D=\begin{vmatrix} 0 & \frac{\parcial} {\parcial x_{12)) & \frac{\parcial} {\parcial x_ {13}} &\cdots & \frac{\parcial}{\parcial x_{1n} } \\[6pt] -\frac{\parcial} { \parcial x_{12} } & 0 & \frac{\parcial } { \parcial x_{23}} &\cdots & \frac{\parcial}{\parcial x_{2n} } \\[6pt] -\frac{\parcial} {\parcial x_{13} } & -\ frac{\parcial} {\parcial x_{23)) & 0 &\cdots & \frac{\parcial}{\parcial x_{3n} } \\[6pt] \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \ vdots \\[6pt] -\frac{\parcial} {\parcial x_{1n} } & -\frac{\parcial} {\parcial x_{2n)) & -\frac{\parcial} {\parcial x_{ 3n}} &\cdots & 0 \end{vmatriz}.

Después

{\ estilo de visualización \ det (XD + (ni) \ delta _ {ij}) = \ det (X) \ det (D).}

La identidad Caraciollo-Sportiello-Sokal para las matrices de Manin

Considere dos matrices M e Y sobre algún anillo asociativo que satisfaga la condición

{\displaystyle [M_{ij},Y_{kl}]=-\delta_{jk}Q_{il))

para algunos elementos de Q il . En otras palabras, los elementos en la j -ésima columna M conmutan con los elementos de la k -ésima fila Y cuando , y en el caso cuando , el conmutador de los elementos M ik y Y kl depende solo de i , l , pero no en k ${\ Displaystyle j\ neq k}$ ${\ estilo de visualización j = k}$

Suponga que M es una matriz de Manin (el ejemplo más simple es una matriz con elementos de conmutación).

Entonces para el caso de una matriz cuadrada

\det(MI+ Q \,\mathrm{diag}(n-1, n-2, \dots, 1,0) ) = \det(M) \det(Y)

Aquí Q es una matriz con entradas Q il , y diag( n − 1, n − 2, …, 1, 0) significa una matriz diagonal con entradas n − 1, n − 2, …, 1, 0 en la diagonal.

Véase [5] Proposición 1.2' fórmula (1.15) página 4, nuestra Y es una transposición a su B .

Obviamente, la identidad original de Cappelli es un caso especial de esta identidad. Además, esta identidad muestra que en la identidad original de Kappeli, uno puede considerar los elementos

\frac{\parcial} {\parcial x_{ij} } + f_{ij}(x_{11},\puntos,x_{kl},\puntos)

para funciones arbitrarias f ij y la identidad sigue siendo válida.

La identidad de Mukhin-Tarasov-Varchenko y el modelo de Gaudin

Redacción

Considere las matrices X y D como en la identidad de Capelli, es decir, con elementos y en posición ( ij ). $x_{ij}$ $\parcial_{ij}$

Sea z otra variable formal (que conmuta con x ). Sean A y B unas matrices cuyos elementos son números complejos.

\det\left( \frac{\parcial}{\parcial_z} - A - X \frac{1}{zB} D^t \right)

={\det}^\text{calcular como si todos viajaran al trabajo}_{\text{Pon todo }x\text{ y }z\text{ a la izquierda mientras que todas las derivaciones están a la derecha}}

\left( \frac{\parcial}{\parcial_z} - A - X \frac{1}{zB} D^t \right)

Aquí el primer determinante debe entenderse, como siempre, como un determinante sobre las columnas de una matriz con entradas no conmutativas. El segundo determinante debe calcularse, colocando (como si todos los elementos fueran conmutativos) todos los x y z a la izquierda y todas las derivaciones a la derecha (tal receta se llama orden normal en mecánica cuántica ).

Sistema cuántico integrable de Gaudin y teorema de Talalaev

Matriz

L(z) = A + X \frac{1}{zB} D^t

es la matriz de Lax para una cadena de espín de un sistema cuántico integrable[ término desconocido ] Gaudin. D. Talalaev resolvió el viejo problema de la solución explícita para el conjunto completo de leyes de conservación de la conmutación cuántica en el modelo de Gaudin al descubrir el siguiente teorema.

Pongamos

\det\left(\frac{\parcial}{\parcial_z} - L(z) \right) =\sum_{i=0}^n H_i(z) \left(\frac{\parcial}{\parcial_z} \right)^i.

Entonces para todo i, j, z, w

{\ estilo de visualización [H_{i}(z),H_{j}(w)]=0,}

es decir, H i ( z ) genera funciones de z para operadores diferenciales de x , que todos conmutan. Entonces dan las leyes de conservación de la conmutación cuántica en el modelo de Gaudin.

Permanentes, inmanentes, rastro de matriz - "identidades superiores de Capelli"

La identidad original de Capelli es una afirmación sobre determinantes. Más tarde, se encontraron identidades similares para permanentes, inmanentes y rastros de una matriz. Basado en el enfoque combinatorio, el artículo de S. G. Williamson [26] fue uno de los primeros resultados en esta dirección.

Identidad de Turnbull para permanentes de matrices antisimétricas

Considere matrices antisimétricas X y D con elementos x ij y derivadas correspondientes, como en el caso Hove-Umeda-Constant-Sahi anterior .

Después

\mathrm{perm}(X^tD -(ni)\delta_{ij}) = \mathrm{perm}^\text{calcular como si todos viajaran al trabajo}_{\text{Pon todo }x\text{ a la izquierda , mientras que todas las derivaciones están a la derecha}} ( X^t D).

Para citar: [6] "... dice sin pruebas al final del artículo de Turnbull". Los propios autores siguen a Turnbull: al final de su trabajo escriben:

"Dado que la prueba de esta última identidad es muy similar a la del análogo simétrico de Turnbull (con una ligera desviación), lo dejamos como un ejercicio instructivo y ameno para el lector".

Esta igualdad se analiza en [27] .

Notas

↑ Kostant, B. & Sahi, S. (1991), The Capelli Identity, tube domains, and the generalized Laplace transform , Advances in Math. Teléfono 87: 71–92 , DOI 10.1016/0001-8708(91)90062-C
↑ Kostant, B. & Sahi, S. (1993), Jordan algebras and Capelli identities , Inventiones Mathematicae T. 112 (1): 71–92 , DOI 10.1007/BF01232451
↑ 1 2 Okounkov, A. (1996), Quantum Immanants and Higher Capelli Identities
↑ 1 2 Okounkov, A. (1996), Young Basis, Wick Formula y Higher Capelli Identities
↑ 1 2 3 4 5 Caracciolo, S.; Sportiello, A. & Sokal, A. (2008), Determinantes no conmutativos, fórmulas de Cauchy-Binet e identidades de tipo Capelli. I. Generalizaciones de las identidades Capelli y Turnbull
↑ 1 2 3 4 Foata, D. & Zeilberger, D. (1993), Pruebas combinatorias de las identidades de Capelli y Turnbull de la teoría invariante clásica
↑ 1 2 Turnbull, Herbert Westren (1948), Determinantes simétricos y los operadores de Cayley y Capelli , Proc. Matemáticas de Edimburgo. soc. V. 8 (2): 76–86 , DOI 10.1017/S0013091500024822
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