Álgebra envolvente universal

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Un álgebra envolvente universal es un álgebra asociativa que se puede construir para cualquier álgebra de Lie que adopte muchas propiedades importantes del álgebra original, lo que le permite aplicar herramientas más amplias para estudiar el álgebra original.

Edificio

Un álgebra asociativa sobre un campo tiene la estructura natural de un álgebra de Lie con el siguiente corchete de Lie : , es decir, a partir de un producto asociativo se puede construir un corchete de Lie simplemente tomando el conmutador . Denotamos este álgebra de Lie por . $A$ $k$ $k$ $[a,b] = ab - ba$ $ALABAMA$

La construcción de un álgebra envolvente universal intenta invertir este proceso: para un álgebra de Lie dada sobre , se encuentra el álgebra asociativa "más general" tal que el álgebra de Lie contiene . Una limitación importante es la preservación de la teoría de la representación: las representaciones se relacionan exactamente de la misma manera que los módulos . En un contexto típico, dado por transformaciones infinitesimales , los elementos actúan como operadores diferenciales de todos los órdenes. $\mathfrak{g}$ $k$ $k$ $U(\mathfrak{g})$ $U_L$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$

Motivación

Un tema importante en el estudio de las álgebras, y probablemente la forma principal en que aparecen en las aplicaciones, es la representación del álgebra de Lie . La representación asigna a cada elemento x del álgebra de Lie un operador lineal . Este espacio de operadores lineales no es solo un álgebra de Lie, sino también un álgebra asociativa, por lo que es posible considerar productos . La esencia de la introducción del álgebra envolvente universal es el estudio de tales productos en varias representaciones del álgebra de Lie. Un obstáculo en un intento ingenuo de hacer esto salta a la vista de inmediato: las propiedades de los productos dependen fundamentalmente de la representación elegida, y no sólo del álgebra de Lie en sí. Por ejemplo, para una representación, puede obtener , mientras que en otra representación este producto puede ser distinto de cero. Sin embargo, ciertas propiedades son universales para todas las vistas, es decir, son válidas para todas las vistas al mismo tiempo. El álgebra envolvente universal es una forma de cubrir todas esas propiedades y solo ellas. $\rho$ $\rho(x)$ $\rho(x)\rho(y)$ $\rho(x)\rho(y)=0$

Propiedad genérica

Sea un álgebra de Lie arbitraria sobre el campo . Dada un álgebra asociativa con identidad y un homomorfismo de álgebras de Lie $\mathfrak{g}$ $k$ $tu$

h\colon \mathfrak{g} \to U_L,

diremos que es un álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie si satisface la siguiente propiedad universal : para cualquier álgebra asociativa con identidad y un homomorfismo de álgebras de Lie $tu$ $\mathfrak{g}$ $A$

f\colon \mathfrak{g} \to A_L

hay un homomorfismo único de álgebras asociativas con identidad

g\colon U\to A

tal que

f = g.

Esta propiedad universal también se puede entender de la siguiente manera: la correspondencia del funtor con su álgebra envolvente universal se deja conjugada con la correspondencia del funtor con el álgebra asociativa del álgebra de Lie correspondiente . $\mathfrak{g}$ $A$ $ALABAMA$

Construcción directa

De esta propiedad universal, podemos deducir que si un álgebra de Lie tiene un álgebra envolvente universal, entonces esta álgebra envolvente está determinada únicamente por el álgebra hasta el isomorfismo. Con la ayuda de la siguiente construcción, que se sugiere a sí misma a partir de consideraciones generales (por ejemplo, como parte de un par de funtores adjuntos ), se establece que, de hecho, cualquier álgebra de Lie tiene necesariamente un álgebra envolvente universal. $\mathfrak{g}$

Partiendo del álgebra tensorial sobre el espacio vectorial del álgebra , obtenemos la factorización por relaciones $T(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $T(\mathfrak{g})$

a \otimes b - b \otimes a = [a,b]

para any e in , donde los corchetes del lado derecho de la expresión denotan el conmutador in . $a$ $b$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

Formalmente, esto significa que

U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g})/I

donde es un ideal de dos caras del álgebra generado por elementos de la forma $yo$ $T(\mathfrak{g})$

a\otimes b - b \otimes a - [a,b], \quad a,b \in \mathfrak{g}.

El mapeo natural define el mapeo , y es este homomorfismo de álgebras de Lie el que se usa en la propiedad universal anterior. $\mathfrak{g} \to T(\mathfrak{g})$ $h\colon \mathfrak{g} \to U_L$

La construcción descrita se traslada casi textualmente al caso de las superálgebras de Lie .

Ejemplos

Si es abeliano (es decir, el conmutador siempre es 0), entonces es conmutativo; si se elige una base de espacio vectorial , entonces se puede considerar como un álgebra polinomial con una variable para cada elemento base. $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $k$

Si es el álgebra de Lie del grupo de Lie , entonces puede considerarse como un álgebra de operadores diferenciales invariantes por la izquierda (de todos los órdenes) en , que contiene como operadores diferenciales de primer orden (que están en correspondencia mutua con campos vectoriales invariantes por la izquierda en ). $\mathfrak{g}$ $GRAMO$ $U(\mathfrak{g})$ $GRAMO$ $\mathfrak{g}$ $GRAMO$

El centro del álgebra se denota por y consiste en operadores diferenciales que son invariantes tanto bajo la acción izquierda del grupo como bajo la derecha; en el caso de la no conmutatividad, el centro a menudo no es generado por operadores de primer orden (por ejemplo, el operador Casimir de un álgebra de Lie semisimple). $U(\mathfrak{g})$ $Z(\mathfrak{g})$ $GRAMO$

También se puede caracterizar como un álgebra de funciones generalizadas apoyada en el elemento identidad de un grupo con la operación de convolución . $U(\mathfrak{g})$ $mi$ $GRAMO$

El álgebra de Weyl de operadores diferenciales envariables con coeficientes polinómicos se puede obtener a partir del álgebra de Lie del grupo de Heisenberg . Para hacer esto, es necesario factorizarlo para que los elementos centrales del álgebra de Lie dada actúen como escalares. $norte$

Descripción adicional de la estructura

El teorema fundamental de Poincaré-Birkhoff-Witt da una descripción exacta ; la consecuencia más importante de esto es que puede ser considerado como un subespacio lineal de . Más precisamente: el mapeo canónico siempre es inyectivo . Además, se genera como un álgebra asociativa con identidad. $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $h\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$

$\mathfrak{g}$ actúa sobre sí mismo mediante una representación adjunta del álgebra de Lie , y esta acción puede extenderse a una representación en endomorfismos : actúa como un álgebra de derivadas sobre , y esta acción conserva las relaciones impuestas, por lo que en realidad actúa sobre . (Esta es una forma puramente infinitesimal de ver los operadores diferenciales invariantes anteriores). $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $T(\mathfrak{g})$ $U(\mathfrak{g})$

Con esta representación, los elementos que son invariantes bajo la acción (es decir, la acción de cualquier elemento sobre ellos es trivial) se denominan elementos invariantes . Son generados por las invariantes de Casimir . $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

Como se mencionó anteriormente, la construcción de álgebras envolventes universales es parte de un par de funtores adjuntos. es un funtor de la categoría de álgebras de Lie a la categoría de álgebras asociativas con identidad. Este funtor se deja adjunto al funtor mapeando álgebra a álgebra . Cabe señalar que la construcción del álgebra envolvente universal no es exactamente la inversa de la formación de : si partimos del álgebra asociativa , entonces no es igual a ; es mucho más grande $tu$ $k$ $k$ $A$ $ALABAMA$ $ALABAMA$ $A$ $U(A_L)$ $A$

La información sobre la teoría de la representación mencionada anteriormente se puede refinar de la siguiente manera: la categoría abeliana de todas las representaciones es isomorfa a la categoría abeliana de todos los módulos de la izquierda . $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$

La construcción de un álgebra de grupo para un grupo dado es en muchos aspectos análoga a la construcción de un álgebra envolvente universal para un álgebra de Lie dada. Ambas construcciones son universales y trasladan la teoría de las representaciones a la teoría de los módulos. Además, tanto las álgebras de grupo como las álgebras envolventes universales tienen una estructura de comultiplicación natural que las convierte en álgebras de Hopf .

Literatura

Dixmier, Jacques. Álgebras envolventes. Reimpresión revisada de la traducción de 1977. . - Providence, RI: American Mathematical Society, 1996. - V. 11. - 379 p. — (Estudios de Posgrado en Matemáticas). — ISBN 0-8218-0560-6 .
Serre J.-P. Álgebras de Lie y grupos de Lie. - Moscú: Mir, 1969. - 376 p. - ISBN 978-5-458-50774-5 .
Grupos Zhelobenko D. P. Compact Lie y sus representaciones. - 2ª ed., añadir. - Moscú: MTSNMO, 2007. - 552 p. — ISBN 978-5-94057-302-9 .