Variedad tórica

Una variedad tórica es una variedad algebraica que contiene el toro algebraico como un subconjunto denso abierto, de modo que la acción del toro sobre sí mismo por multiplicación a la izquierda se extiende a la acción sobre toda la variedad. Si la variedad es compleja , entonces el toro algebraico lo es . Por lo general, se supone que las variedades tóricas son normales . También hay una teoría paralela que utiliza variedades simplécticas en lugar de variedades algebraicas . ${\ estilo de visualización (\ mathbb {C} ^{*})^{n))$

Se puede construir una variedad tórica a partir de un abanico, y todas las variedades tóricas normales se obtienen de esta forma. Esta construcción no es elemental en el sentido que requiere el concepto de espectro de un anillo . Otra construcción es la construcción de una variedad tórica proyectiva dado un politopo convexo adecuado, que se puede formular sin recurrir a los conceptos de geometría algebraica esquemática .

Diseño de ventiladores

Caso afín

Sea un toro dimensional , $T$ $norte$

N={\textrm {Hom}}(\mathbb {C} ,T)\cong \mathbb {Z} ^{n}

es un grupo abeliano libre llamado red de subgrupos de un parámetro , y

M={\textrm {Hom}}(T,\mathbb {C} )\cong {\textrm {Hom}}(N,\mathbb {Z} )\cong Z^{n}

es el grupo abeliano dual, llamado red monomial . Suponga que se da un cono en un espacio vectorial , que es estrictamente convexo (es decir, no contiene simultáneamente vectores distintos de cero y ) y es generado por un número finito de vectores racionales (vectores desde ) como un cono convexo . Tome el cono dual que se encuentra en el espacio dual y haga intersección con la red . Los elementos de esta red pueden ser considerados como monomios del álgebra , obteniendo así una subálgebra . La variedad tórica afín correspondiente al cono es el espectro de esta álgebra. $N_{\mathbb {R} }=N\otimes_{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ $\sigma$ $v$ ${\ estilo de visualización (-v)}$ $N_{\mathbb {Q} }=N\otimes_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ ${\ estilo de visualización \ sigma ^ {*}}$ $M_{\mathbb{R} }$ $M={\textrm {Hom}}(T,\mathbb {C} )$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} [T]}$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$ ${\ Displaystyle X_ {\ sigma}}$ $\sigma$

Además, la acción del toro sobre sí mismo por la multiplicación continúa debido a que el álgebra es generada por monomios. Debido a la estricta convexidad del cono , el mapeo dual a la incrustación es una incrustación abierta. Dado que el cono es generado por un número finito de vectores racionales, el Lema de Gordan establece que un álgebra es finitamente generada, es decir, su espectro es una variedad. $T$ ${\ Displaystyle X_ {\ sigma}}$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$ $T\a X_{\sigma}$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]\to \mathbb {C} [T]$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$

Pegado

La necesidad de pasar al doble cono se explica por el hecho de que entonces es posible pegar los conos en un abanico.

Construcción sobre un poliedro

Literatura

David A. Cox, John B. Little, Hal Schenck. Variedades tóricas (neopr.) . - American Mathematical Soc., 2011. - P. 841. - (Estudios de posgrado en matemáticas). — ISBN 9780821848197 . Archivado el 12 de noviembre de 2014 en Wayback Machine .
Michèle Audin, Ana Cannas da Silva, Eugene Lerman. Geometría Simpléctica de Sistemas Hamiltonianos Integrables . — Birkhauser, 2012. - Pág. 226. - ISBN 9783034880718 .
G. Yu. Panina. Variedades tóricas. Introducción a la Geometría Algebraica .