Hilo de acortamiento

Un flujo de acortamiento es un proceso que cambia una curva suave en un plano moviendo sus puntos perpendiculares a la curva a una velocidad igual a su curvatura .

El flujo de acortamiento se estudia principalmente como el ejemplo más simple de un flujo geométrico , en particular, permite trabajar la técnica para trabajar con un flujo de Ricci y con un flujo de curvatura media .

Ecuación

Una familia de curvas de un parámetro es una solución a un flujo de acortamiento si, para cualquier valor del parámetro , tenemos ${\ estilo de visualización \ gamma _ {t}}$ $\tau$

{\frac {\parcial \gamma _{t}(\tau )}{\parcial t))=\kappa _{t}(\tau )\cdot n_{t}(\tau ),

donde es la curvatura con el signo de la curva en el punto y es el vector unitario normal a la curva en el punto . ${\ estilo de visualización \ kappa _ {t} (\ tau)}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {t}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {t} (\ tau)}$ ${\ Displaystyle n_ {t} (\ tau)}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {t}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {t} (\ tau)}$

Propiedades

Si la curva inicial es simple y cerrada, entonces permanece así bajo la acción del flujo de manteca.
Para una curva cerrada simple , el flujo de acortamiento se define en el intervalo máximo . $\ gamma _ {0}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {t}}$ ${\ estilo de visualización t \ en [0, T)}$
- En , la curva colapsa en un punto. ${\ estilo de visualización t \ a T}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {t}}$
El área delimitada por la curva disminuye a una tasa constante. ${\frac {dS}{dt}}=2\cdot \pi .$
- En particular, el momento de colapso en un punto está completamente determinado por el área delimitada por la curva: . $T={\tfrac {S_{0}}{2\cdot\pi}}$
Si la curva original no es convexa, entonces su máxima curvatura absoluta decrece monótonamente hasta volverse convexa.
Para una curva convexa , la relación isoperimétrica disminuye, y antes de desaparecer en el punto de singularidad, la curva tiende a tener forma de círculo. [una]
Dos curvas cerradas suaves simples que no se cruzan permanecen sin intersección hasta que una de ellas colapsa en un punto.
El círculo es la única curva cerrada simple que conserva su forma en el flujo.
- Algunas curvas que se cortan a sí mismas , así como curvas de longitud infinita, conservan su forma.

Aplicaciones

Un flujo de acortamiento en una esfera proporciona una de las pruebas del problema de Arnold sobre la existencia de al menos cuatro puntos de inflexión para cualquier curva suave que corte una esfera en discos de igual área. [2]

Notas

↑ Gage, ME (1984), "El acortamiento de curvas hace que las curvas convexas sean circulares", Inventiones Mathematicae 76 (2): 357-364, doi:10.1007/BF01388602
↑ Angenent, Sigurd. "Puntos de inflexión, puntos extáticos y acortamiento de curvas". Sistemas hamiltonianos con tres o más grados de libertad. Springer Holanda, 1999. 3-10.