Flujo de curvatura media

Un flujo de curvatura media es un cierto proceso de deformación de hipersuperficies en una variedad de Riemann , en particular para superficies en el espacio euclidiano tridimensional .

El flujo deforma la superficie en la dirección normal a una velocidad igual a su curvatura promedio. Por ejemplo, una esfera bajo la influencia de un flujo se comprime en un punto.

Ecuación

Una familia de superficies de un parámetro es un flujo de curvatura media si $f_{t}\dos puntos\hookrightarrow M$

{\frac {\parcial f_{t}(x)}{\parcial t))=H_{t}(x)\cdot n(x),

donde y denotan la curvatura media y la unidad normal a la superficie en el punto . ${\ estilo de visualización H_ {t} (x)}$ $n(x)$ ${\ Displaystyle f_ {t} (S)}$ ${\ Displaystyle f_ {t} (x)}$

Propiedades

La ecuación de flujo es una ecuación diferencial parcial parabólica .
- En particular, esto garantiza la existencia de una solución para valores pequeños del parámetro de tiempo.
Las superficies mínimas son puntos críticos para un flujo de curvatura media.
Habitualmente, un flujo de curvatura media forma una singularidad en un tiempo finito, a partir del cual el flujo deja de estar definido.
Fórmula de monotonicidad de Huisken
Bajo la acción del flujo, una hipersuperficie convexa cerrada en el espacio euclidiano permanece convexa. Además, colapsa hasta un punto en un tiempo finito, e inmediatamente hasta ese punto la superficie se acerca a la esfera estándar hasta un cambio de escala.
- En una variedad general de Riemann, la convexidad de una hipersuperficie no se conserva en el flujo, incluso si se requiere adicionalmente que la curvatura de la sección sea positiva .

Véase también

Un flujo de acortamiento es un caso especial de flujo de curvatura media para curvas en un plano.
El flujo de Ricci es una construcción estrechamente relacionada para la deformación de las variedades de Riemann.

Aplicaciones

Flow proporciona una operación de suavizado natural para hipersuperficies. En particular, da una aproximación analítica de una hipersuperficie lisa dada. $C^{2}$

Literatura

Ecker, Klaus (2004), Teoría de la regularidad para el flujo de curvatura media , vol. 57, Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3243-3 , DOI 10.1007/978-0-8176-8210-1 .
Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow , vol. 290, Progreso en Matemáticas, Basilea: Birkhäuser/Springer, ISBN 978-3-0348-0144-7 , DOI 10.1007/978-3-0348-0145-4 .
Lu, Conglin; Cao, Yan y Mumford, Davidd (2002), Evolución superficial bajo flujos de curvatura , Journal of Visual Communication and Image Representation Vol. 13 (1-2): 65–81 , DOI 10.1006/jvci.2001.0476 . Véanse en particular las Ecuaciones 3a y 3b.