La versatilidad de Feigenbaum

La universalidad de Feigenbaum , o universalidad de Feigenbaum-Kulle-Tresser , es un efecto en la teoría de las bifurcaciones , que consiste en el hecho de que ciertas características numéricas de la cascada de bifurcaciones que duplican el período en una familia de mapeos unimodales de un parámetro resultan ser independientes de la elección de una familia particular en la transición del comportamiento regular al caótico (y, por lo tanto, son constantes universales). Tales características resultan ser, en particular, el límite de las proporciones de segmentos de parámetros adyacentes entre dos bifurcaciones de duplicación de períodos (llamada constante de Feigenbaum $\delta$ ) y la dimensión de Hausdorff del atractor en el punto final de la cascada.

El efecto fue descubierto en experimentos numéricos por M. Feigenbaum y simultánea e independientemente por P. Kulle y C. Tresser; tanto Feigenbaum como Kulle y Tresser ofrecieron una explicación para este efecto en términos de describir el comportamiento del operador de renormalización. La justificación de este comportamiento en el caso de mapeos unimodales se obtuvo primero en el (riguroso, pero basado en cálculos asistidos por computadora) trabajo de O. Lanford , y luego en los trabajos de D. Sullivan , C. McMullen y M. Lubitsch utilizando la técnica compleja .

Descripción del efecto

La universalidad de Feigenbaum-Kulle-Tresser es un efecto que se descubrió en el estudio de la transición del comportamiento regular al caótico en familias de mapeos en particular, en el estudio de una familia de mapeos

f_{\lambda }:[0,1]\to [0,1],\quad x\mapsto \lambda x(1-x)

y familias

g_{\mu }:[0,1]\to [0,1],x\mapsto \mu \sin \pi x.

Es decir, en la familia logística de mapeos, por pequeños que sean, el atractor del mapeo es el único punto fijo atrayente . En , se produce la primera bifurcación de duplicación del período, por lo que el punto fijo pierde estabilidad y, en su lugar, se convierte en atractor una órbita periódica atrayente de período 2 que aparece en este momento. el parámetro hasta , después de lo cual ocurre la siguiente bifurcación de duplicación del período, y el atractor se convierte en una órbita periódica nacida en el período 4. A su vez, esta órbita en pierde estabilidad, y la órbita nacida del período 8 se convierte en el atractor, y así sucesivamente . $\lambda$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1} = 3}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {2} \ aproximadamente 3 {,} 449}$ ${\ estilo de visualización \ lambda = \ lambda _ {2))$ ${\ estilo de visualización \ lambda = \ lambda _ {3} \ aproximadamente 3 {,} 544}$

Estos valores se acumulan hasta cierto valor : el punto final de la cascada de bifurcaciones. Al realizar experimentos numéricos, Feigenbaum descubrió que su acumulación asintóticamente parece una progresión geométrica: ${\ estilo de visualización \ lambda _ {*} = \ lim _ {n} \ lambda _ {n}}$

{\ estilo de visualización \ lambda _ {*}- \ lambda _ {n} \ sim C \ delta ^ {-n}.}

Un escenario similar de transición de comportamiento regular a caótico a través de una cascada de bifurcaciones de duplicación de período tiene lugar para cualquier familia de mapeos unimodales con una derivada negativa de Schwartz ; habiendo establecido experimentos para otra familia de mapeos unimodales de un parámetro, Feigenbaum descubrió [1] que en este caso los momentos de bifurcación se acumulan asintóticamente hasta el límite como una progresión geométrica, $g_{\mu }:x\mapsto \mu \sin \pi x,$ $\mu _{n}$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {*}}$

\mu _{*}-\mu _{n}\sim C'\delta ^{-n},

además, con el mismo denominador que para la familia logística . En este sentido, planteó la hipótesis de que tal comportamiento de los momentos de bifurcación es universal : no depende de la elección de una familia específica de un parámetro; la constante se llamó constante de Feigenbaum . ${\ estilo de visualización \ delta ^ {-1}}$ ${\ estilo de visualización \ delta \ aproximadamente 4{,} 669...}$

Explicación: renormalización

La justificación del efecto de universalidad se basa en la descripción de la dinámica de la transformación de renormalización sobre el espacio de mapeos unimodales de un intervalo en sí mismo. Es decir, bajo ciertas condiciones en el mapeo unimodal f, se puede señalar un intervalo que se mapea en sí mismo después de dos iteraciones, y el mapeo del primer retorno al cual también será unimodal. Un cambio de escala lineal después de esto nos permite considerar el mapa de la primera vuelta nuevamente como un mapa del intervalo original en sí mismo; tal transformación, que compara el mapeo original iterado con un cambio de escala, se llama renormalización. $\mathcal{R}$ $[-1,\;1]$ $[-1,\;1]$

La explicación del efecto de universalidad propuesta por Feigenbaum y Kulle-Tresser se basó en que la transformación de renormalización tiene un solo punto fijo , satisfaciendo así la ecuación de Feigenbaum-Tsitanovitch $gramo$

g(x)=-{\frac {1}{\alpha }}g(g(\alpha x)),

donde es la constante de cambio de escala. $\alfa$

Este punto fijo es hiperbólico, y su variedad inestable es unidimensional, y se cruza con la superficie en el espacio de mapeo correspondiente a la bifurcación de duplicación del período. Por el contrario, la variedad estable de este punto tiene codimensión uno (en el espacio de dimensión infinita de aplicaciones unimodales), y una típica familia de aplicaciones de un parámetro, en particular, una familia cuadrática, la intersecta transversalmente.

Entonces, la velocidad asintótica con la que los momentos de las bifurcaciones de duplicación del período se acercan al límite es exponencial, con el denominador recíproco al valor propio de linealización mayor que 1 en el punto . En particular, el fenómeno de la universalidad se sigue de aquí: esta velocidad está determinada por un valor propio grande de 1 y no depende de la elección de una familia individual. $\lambda_n$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {*}}$ $\mathcal{R}$ $gramo$

Prueba de la conjetura de Feigenbaum-Kulle-Tresser

Consecuencias

Temas abiertos

Historia

En 1976 se publicó la obra de R. M. May, cuyo punto de partida fueron cuestiones de dinámica demográfica; Como modelo matemático, consideramos sistemas dinámicos en un segmento correspondiente a varios mapeos unimodales diferentes, incluido el logístico. Motivó el interés en el estudio de tales aplicaciones y bifurcaciones en sus familias de un parámetro, y en 1978 M. Feigenbaum y simultánea e independientemente P. Kulle y C. Tresser descubrieron el efecto de universalidad en experimentos numéricos y propusieron su explicación a través de una descripción de la dinámica del operador de renormalización.

Pronto, en 1984, O. Lanford prueba rigurosamente esta propiedad, pero su prueba se basa en gran medida en cálculos informáticos.

Enlaces

Comportamiento universal en sistemas dinámicos , Springer Encyclopaedia of Mathematics .
Anotación del curso de M. Yampolsky
Weisstein, Eric W. Feigenbaum Constant (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Grabación en video de la charla de A. Avila en el Congreso Internacional de Matemáticos , Hyderabad, 2010.

Literatura

↑ E. B. Vul, Ya. G. Sinai, K. M. Khanin, Universalidad de Feigenbaum y formalismo termodinámico, Uspekhi Mat. Nauk, 39:3 (237) (1984), p. 3-37 - pág.4.

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P. Coullet, C. Tresser, Itérations d'endomorphismes et groupe de rénormalisation , Journal de Physique Colloques 39:C5 (1978), págs. 25-28.
C. Tresser y P. Coullet, Iterations d'endomorphismes et groupe de renormalisation, CR Acad. ciencia París 287A (1978), págs. 577-580.
MJ Feigenbaum, Universalidad cuantitativa para una clase de transformaciones no lineales, J. Statist. física 19 (1978), 25-52.
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OE Lanford III, Una prueba asistida por computadora de las conjeturas de Feigenbaum , Bol. AMS. 6 :3 (1984), págs. 427-434
J. P. Eckmann El mecanismo de la universalidad de Feigenbaum , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos , Berkeley, California, EE. UU., 1986.
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J. Milnor , Auto-similitud y vellosidad en el conjunto de Mandelbrot, en Computers in Geometry and Topology, Lect. Notas en Pure y Appl Math. 114 (1989), 211-257
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V. I. Arnold , Capítulos adicionales en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, ed. 2do.