Dimensión de Hausdorff

La dimensión de Hausdorff , o dimensión de Hausdorff , es una forma natural de definir la dimensión de un subconjunto en un espacio métrico . La dimensión de Hausdorff está de acuerdo con nuestras nociones habituales de dimensión cuando existen estas nociones habituales. Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional , la dimensión de Hausdorff de un conjunto finito es cero, la dimensión de una curva suave es uno, la dimensión de una superficie suave es dos y la dimensión de un conjunto de volumen distinto de cero es Tres. Para conjuntos más complejos (fractales), la dimensión de Hausdorff puede no ser un número entero.

Definición

La definición de la dimensión de Hausdorff consta de varios pasos. Sea un conjunto acotado en un espacio métrico . $\Omega$ $X$

ε-recubrimientos

deja _ A lo sumo, un conjunto contable de subconjuntos de un espacio se llamará una cubierta del conjunto si se cumplen las siguientes dos propiedades: $\varepsilon >0$ $\{\omega _{i}\}_{{i\en yo}}$ $X$ $\varepsilon$ $\Omega$

$\Omega \subconjunto \bigcup _{{i\in I}}\omega _{i}$
para cualquier : (en adelante, se entenderá por el diámetro del conjunto ). $yo en yo$ $|\omega _{i}|<\varepsilon$ $|\omega |$ $\omega$

Medida α de Hausdorff

deja _ Sea una portada del conjunto . Definamos la siguiente función, que en cierto sentido muestra el "tamaño" de esta cobertura: . $\alfa >0$ $\Theta =\{\omega _{i}\}_{{i\en I}}$ $\Omega$ $F_{\alpha }(\Theta ):=\sum \limits _{{i\in I}}|\omega _{i}|^{\alpha }$

Denotemos por el “tamaño mínimo” -cubiertas del conjunto : , donde el mínimo se toma sobre todas las -cubiertas del conjunto . $M_{{\alfa}}^{{\varepsilon}}(\Omega)$ ${\varepsilon}$ $\Omega$ $M_{{\alpha }}^{{\varepsilon }}(\Omega ):=\inf(F_{\alpha }(\Theta ))$ $\varepsilon$ $\Omega$

Es obvio que la función (no estrictamente) aumenta al disminuir , ya que al disminuir solo encogemos el conjunto de posibles -coberturas. Por lo tanto, tiene un límite finito o infinito en : $M_{{\alfa}}^{{\varepsilon}}(\Omega)$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon \rightarrow 0+$

$M_{{\alpha }}(\Omega )=\lim \limits_{{\varepsilon \rightarrow 0+}}M_{{\alpha }}^({\varepsilon }}(\Omega )$ .

La cantidad se llama la medida de Hausdorff del conjunto . $M_{{\alfa }}(\Omega )$ $\alfa$ $\Omega$

Propiedades de la medida α de Hausdorff

$\alfa$ -la medida de Hausdorff es una medida de Borel sobre . $X$
hasta la multiplicación por un coeficiente: la medida 1 de Hausdorff para curvas suaves coincide con su longitud; La medida 2 de Hausdorff para superficies lisas coincide con su área; -la medida de Hausdorff de conjuntos en coincide con su volumen -dimensional. $d$ $\mathbb{R}^d$ $d$
$M_{{\alfa }}(\Omega )$ disminuye en . Además, para cualquier conjunto existe [1] [2] [3] un valor crítico , tal que: $\alfa$ $\Omega$ $\alpha _{0}$
- $M_{{\alpha }}(\Omega )=+\infty$ para todos $\alfa <\alfa _{0}$
- $M_{{\alfa}}(\Omega)=0$ para todos $\alfa >\alfa _{0}$

El valor puede ser cero, finitamente positivo o infinito. $M_{{\alfa _{0}}}(\Omega )$

Definición de la dimensión de Hausdorff

La dimensión de Hausdorff de un conjunto es el número del párrafo anterior. ${\ estilo de visualización \ dim _ {H} \ Omega}$ $\Omega$ $\alpha _{0}$

Ejemplos

Para conjuntos autosimilares, la dimensión de Hausdorff se puede calcular explícitamente. Hablando informalmente, si un conjunto se divide en partes similares al conjunto original con coeficientes , entonces su dimensión es una solución a la ecuación . Por ejemplo, $norte$ $r_{1},r_{2},\puntos,r_{n}$ $s$ $r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\puntos +r_{n}^{s}=1$

la dimensión del conjunto de Cantor es (dividido en dos partes, coeficiente de similitud 1/3), $\ln 2/\ln 3$
dimensión del triángulo de Sierpinski - (dividido en 3 partes, coeficiente de similitud 1/2), $\ln 3/\ln 2$
dimensión de la curva del dragón - (dividida en 2 partes, coeficiente de similitud ). $2$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {1/2))}$

Propiedades

La dimensión de Hausdorff de cualquier conjunto no excede las dimensiones inferior y superior de Minkowski .
La dimensión de Hausdorff de, como máximo, una unión contable de conjuntos es igual al máximo de sus dimensiones.
- En particular, agregar un conjunto contable a cualquier conjunto no cambia su dimensión.
Para espacios métricos arbitrarios y la relación $X$ $Y$ $\dim _{H}(X\veces Y)\geq \dim _{H}(X)+\dim _{H}(Y).$
- Para algunos pares y la desigualdad es estricta; además, tal par puede elegirse de subconjuntos compactos de la línea real. [cuatro] $X$ $Y$

Véase también

Notas

↑ Prueba en Pertti Mattila, "Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos", 1995 - Teorema 4.7
↑ (Springer) Enciclopedia de Matemáticas - Referencia a Mattila . Consultado el 31 de agosto de 2015. Archivado desde el original el 16 de enero de 2020. (indefinido)
↑ Prueba en Kenneth Falconer, "Fractal Geometry" (segunda edición), 2003 - p.31
↑ Ejemplo 7.8 en Falconer, Kenneth J. Geometría fractal. Fundamentos y aplicaciones matemáticas . — John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, Nueva Jersey, 2003.

Literatura

Feder E. Fractales. - M .: MIR, 1991. - S. 254. - ISBN 5-03-001712-7 .

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