Ecuación de quinto grado

Una ecuación de quinto grado se llama ecuación de la forma: $hacha^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0$

Teorema de Vieta para ecuaciones de quinto grado

Las raíces de la ecuación de quinto grado están relacionadas con los coeficientes de la siguiente manera: ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5))$ ${\ estilo de visualización a, \, b, \, c, \, d, \, e, \, f}$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-{\frac {b}{a)),

x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{1}\,x_{5}+x_{2 }\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{2}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}+x_{3}\,x_{5 }+x_{4}\,x_{5}={\frac{c}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_ {5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{4}\, x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{2}\,x_{4}\ ,x_{5}+x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac{d}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_ {1}\,x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\ ,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}={\frac{e}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {f}{a)).

Solución

No existe una fórmula exacta para resolver la ecuación de quinto grado. Si , entonces la ecuación queda como: ${\ estilo de visualización a = 1, f = 0}$

$x^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex=0$ , donde lo quitamos entre paréntesis (ver. Ecuación de resumen ) $X$

$x(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)=0$ , donde una de las raíces es igual a cero .

Ecuación de cuarto grado entre paréntesis .

Si , la ecuación es bicuadrática . Una de las raíces es igual a cero, el resto de las raíces se buscan por la fórmula ${\ estilo de visualización b = d = 0}$

${\estilo de texto \pm {\sqrt {-c\pm {\frac {\sqrt {c^{2}-4e}}{2}}}}}$ .

Si , la ecuación entre paréntesis es ${\ estilo de visualización b = e = 0}$

$x^{4}+cx^{2}+dx=0$ , donde quitamos los corchetes:

$x(x^{3}+cx+d)=0$ , donde una de las raíces es cero, estamos buscando las otras tres raíces usando la fórmula de Cardano .

Ejemplo

Resuelve la ecuación

${\ estilo de visualización x^{5}+5x=0}$ .

Solución. Vamos a sacarlo de paréntesis: $X$

${\ estilo de visualización x (x ^ {4} + 5) = 0}$ .

Vamos a factorizarlo: ${\ estilo de visualización x^{4}+5}$

$x(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt { 2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt {2}}}i)(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}} {\raíz cuadrada {2}}}i)=0$ .

La ecuación tiene cinco raíces:

${\ estilo de visualización x_ {1} = 0}$ , , , , . $x_{2}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$ $x_{3}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt{2}}}i$ $x_{4}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt{2}}}i$ $x_{5}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$

Enlaces

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