Ecuación de cuarto grado

Ecuación de cuarto grado - en matemáticas , una ecuación algebraica de la forma:

f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.

El cuarto grado para ecuaciones algebraicas es el más alto para el cual existe una solución analítica en radicales en forma general (es decir, para cualquier valor de los coeficientes).

Dado que la función es un polinomio de grado par, tiene el mismo límite ya que tiende a más y menos infinito. Si , entonces la función aumenta hasta más infinito en ambos lados, lo que significa que tiene un mínimo global. De manera similar, si , entonces la función decrece a menos infinito en ambos lados, lo que significa que tiene un máximo global. $f(x)$ $a>0$ $un<0$

Teorema de Vieta para una ecuación de cuarto grado

Las raíces de la ecuación de cuarto grado están relacionadas con los coeficientes de la siguiente manera: $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}$ $a B C D e$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac{b}{a)),

x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\, x_{4}+x_{3}\,x_{4}={\frac{c}{a}},

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4} +x_{2}\,x_{3}\,x_{4}=-{\frac{d}{a}},

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}={\frac {e}{a}}.

Historia

Las ecuaciones de cuarto grado fueron consideradas por primera vez por los antiguos matemáticos indios entre el siglo IV a. antes de Cristo mi. y II siglo. norte. mi.

A Ludovico Ferrari se le atribuye haber obtenido la solución de la ecuación de cuarto grado en 1540, pero su trabajo se basó en la solución de la ecuación cúbica, que no tenía, por lo que esta solución no se publicó de inmediato, [1] pero se publicó recién en 1545, junto con la solución de la ecuación cúbica del mentor Ferrari - Gerolamo Cardano en el libro " Gran Arte " [2] .

El teorema de Abel -Ruffini en 1824 demostró que esta es la mayor potencia de una ecuación para la cual se puede dar una fórmula de solución general. de los resultados [3]

Decisiones

Solución vía solvente

Solución de la ecuación de cuarto grado

{\ estilo de visualización x^{4}+px^{2}+qx+r=0}

se reduce a resolver la resolución cúbica

y^{3}-2py^{2}+(p^{2}-4r)y+q^{2}=0

Las raíces del resolvente están relacionadas con las raíces de la ecuación original (que debe ser encontrada) por las siguientes relaciones: ${\ estilo de visualización y_{1},y_{2},y_{3))$ ${\ estilo de visualización x_{1},x_{2},x_{3},x_{4))$

y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})

y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})

Las raíces del solvente se pueden encontrar utilizando la fórmula de Cardano . Tres fórmulas para las relaciones entre y junto con la ecuación ( relación de Vieta para el coeficiente de at ) ${\ Displaystyle y_ {yo}}$ $x_{yo}$ ${\ estilo de visualización x^{3))$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0

dar un sistema de 4 ecuaciones algebraicas con 4 incógnitas, que se resuelve fácilmente.

Solución de Descartes-Euler

En una ecuación de cuarto grado

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0

hacemos una sustitución , obtenemos la ecuación de la siguiente forma (se llama "incompleta"): $x=y-{\frac{b}{4a))$

y^{4}+py^{2}+qy+r=0,

dónde

p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}},

q={\frac {8a^{2}d-4abc+b^{3}}{8a^{3}}},

r={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}.

Las raíces de tal ecuación son iguales a una de las siguientes expresiones: $y_{1},\,y_{2},\,y_{3},\,y_{4}$

\pm {\sqrt {z_{1))}

\pm {\sqrt {z_{2))}

\pm {\sqrt {z_{3}}},

en la que se eligen combinaciones de signos de tal manera que se cumpla la siguiente relación:

(\pm {\sqrt {z_{1}}})(\pm {\sqrt {z_{2}}})(\pm {\sqrt {z_{3}}})=-{\frac {q} {ocho}},

y son las raíces de la ecuación cúbica $z_{1},\,z_{2},\,z_{3}$

z^{3}+{\frac {p}{2}}z^{2}+{\frac {p^{2}-4r}{16}}z-{\frac {q^{2}} {64}}=0.

La decisión de Ferrari

La solución de una ecuación de cuarto grado de la forma se puede encontrar utilizando el método de Ferrari. Si es una raíz arbitraria de la ecuación cúbica $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ $y_1$

y^{3}-por^{2}+(ac-4d)ya^{2}d+4bd-c^{2}=0,

(2)

( resolutivos de la ecuación principal), entonces las cuatro raíces de la ecuación original se encuentran como las raíces de dos ecuaciones cuadráticas

x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}} {4}}-b+y_{1}\derecha)x^{2}+\izquierda({\frac {a}{2}}y_{1}-c\derecha)x+{\frac {y_{1 }^{2}}{4}}-d}}

donde la expresión radical del lado derecho es un cuadrado perfecto .

Ecuación bicuadrática

Una ecuación bicuadrática [4] es una ecuación de cuarto grado de la forma , donde se dan números complejos y . En otras palabras, esta es una ecuación de cuarto grado, en la que los coeficientes segundo y cuarto son iguales a cero. Por sustitución , se reduce a una ecuación cuadrática para . $hacha^{4}+bx^{2}+c=0$ $a B C$ $un\no=0$ $y=x^{2};y\geqslant 0$ $y$

Sus cuatro raíces se encuentran por la fórmula

x_{1,2,3,4}=\pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))}.

Ecuaciones recíprocas de cuarto grado

La ecuación recíproca de cuarto grado también es relativamente fácil de resolver: para tal que , la solución se encuentra por reducción a la forma: $hacha^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$ $un \ neq 0$

a\left(x^{2}+{1 \sobre x^{2}}\derecha)+b\left(x+{1 \sobre x}\derecha)+c=0

Después del reemplazo , se busca una solución a la ecuación cuadrática y luego a la ecuación cuadrática . $t={x+{1\sobre x}}$ $en^{2}+bt+c-2a=0$ $x^2 - tx + 1 = 0$

Notas

↑ Biografía de Ferrari . Consultado el 26 de septiembre de 2009. Archivado desde el original el 29 de octubre de 2009. (indefinido)
↑ "Great Art" ( Ars magna Archivado el 26 de junio de 2008 en Wayback Machine , 1545 )
↑ Stuart, Ian . Teoría de Galois, tercera edición (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004 )
↑ En la literatura hasta mediados del siglo XX, una ecuación bicuadrática de cuarto grado de forma general también podría llamarse

Literatura

Korn G., Korn T. Manual de matemáticas para científicos e ingenieros. — M .: Nauka , 2003. — 832 p. - 5000 copias. — ISBN 5-8114-0485-9 .
Conferencia 4 en el libro: Tabachnikov S. L., Fuks D. B. Diversión matemática . — M. : MTsNMO , 2011. — 512 p. - 2000 copias. - ISBN 978-5-94057-731-7 .

Enlaces

La decisión de Ferrari . Fecha de acceso: 27 de septiembre de 2009. Archivado desde el original el 19 de febrero de 2012.
Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Biquadratic Equation (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Ecuación bicuadrática (inglés) en el sitio web de PlanetMath .

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