Fábrica

Un factorión  es un número natural que es igual a la suma de los factoriales de sus dígitos.

Lista completa de factorías

Límite superior

Habiendo determinado el límite superior para las factoriones, es fácil (por ejemplo, mediante una búsqueda exhaustiva) mostrar que hay exactamente 4 de esos números.

Cualquier número de n dígitos no menor que . Sin embargo, la suma de los factoriales de sus dígitos no excede de , donde . Dado que el primer número crece más rápido que el segundo (el primero depende de n exponencialmente y el segundo linealmente ), y ya . Por lo tanto, todas las factoriones constan de no más de 7 dígitos.

Argumentos similares ayudan a probar la finitud del número de muchas factoriones generalizadas (ver más abajo).

Generalizaciones

En otros sistemas numéricos

Tabla de factorización en sistemas numéricos hasta hexadecimal :

Base Número máximo de dígitos factorías
2 2 1, 10
3 2 12
cuatro 3 1, 2, 13
5 3 1, 2, 144
6 cuatro 1, 2, 41, 42
7 5 12
ocho 5 12
9 6 1, 2, 62558
diez 7 1, 2, 145, 40585
once ocho 1, 2, 24, 44, 28453
12 ocho 12
13 9 1, 2, 83790C5B
catorce diez 1, 2, 8B0DD409C
quince once 1, 2, 661, 662
dieciséis once 1, 2, 260F3B66BF9

factorías k

k-factorion  - un número igual a la suma de los factoriales de sus dígitos, multiplicada por k. Entonces los usuales son factorías de 1.

Listas completas de k-factoriones:

  1. k=2: 817926
  2. k=3: 138267, 1103790
  3. k=4: 12, 32, 104, 23076
  4. k=5: 10

Generalizaciones de Pickover

En su libro Keys to Infinity, Clifford A. Pickover ( 1995 ) propuso las siguientes generalizaciones:

  1. Un factorión del segundo tipo  es igual al producto de los factoriales de sus dígitos, por ejemplo: abc = a !⋅ b !⋅ c !
  2. La factorización de la tercera especie  es igual a la suma de los factoriales de números formados por grupos de dígitos, por ejemplo: abc = ( ab )! + c !
Texto original  (inglés)[ mostrarocultar] Una vía de investigación más fructífera puede ser la búsqueda de factoriones "del segundo tipo", que se forman por el producto de los valores factoriales para cada uno de sus dígitos. Además, las factorías hipotéticas "del tercer tipo" se forman mediante la agrupación de dígitos.

Ambas definiciones generan números mucho más grandes que la definición habitual. Aunque las factorías del segundo tipo en el sistema decimal solo son degeneradas (1 y 2), se encuentran varias factorías del tercer tipo (los grupos de números están en negrita):

Para generalizaciones de ambos tipos, no se sabe si el número de factoriones correspondientes es finito.

Literatura

Enlaces