Establecer notación

${\displaystyle \{n\in \mathbb {Z} \mid (\existe k\in \mathbb {Z} )[n=2k]\))$

— El conjunto de todos los números pares ,
expresado en términos de notación de conjunto.

En la teoría de conjuntos y sus aplicaciones a la lógica , las matemáticas y la informática , la forma de un conjunto es una notación matemática para describir un conjunto enumerando sus elementos o especificando las propiedades que los elementos del conjunto deben satisfacer [1] .

Conjuntos definidos por enumeración

Un conjunto se puede describir enumerando todos sus elementos entre llaves, como en los siguientes ejemplos:

${\ estilo de visualización \ {7,3,15,31\))$ es un conjunto que contiene cuatro números: 3, 7, 15 y 31 y nada más.
${\ estilo de visualización \ {a, c, b \} = \ {a, b, c \}}$ es un conjunto que contiene a , byc y nada más (no se considera el orden de los elementos en el conjunto, solo su presencia) .

Tal tarea a veces se llama el "método de enumeración" para un conjunto particular [2] .

Si se quiere especificar un conjunto que contiene una secuencia regular, se pueden usar los puntos suspensivos , como se muestra en los siguientes ejemplos:

$\{1,2,3,\ldots,100\}$ es el conjunto de números enteros entre 1 y 100 inclusive.
$\{1,2,3,\ldots\}$ es el conjunto de todos los números naturales .
${\displaystyle \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots \}=\{0,1,-1,2,-2,\ldots \))$ es el conjunto de todos los enteros.

No hay ordenación en un conjunto (esto explica por qué la igualdad es verdadera en el último ejemplo), pero cuando se usan puntos suspensivos, la secuencia ordenada antes (o después) de los puntos suspensivos se usa como una forma conveniente de explicar qué elementos pertenecen al conjunto. . Se muestran los primeros elementos de la secuencia, y los siguientes puntos suspensivos sugieren que se debe aplicar la interpretación más simple para continuar la secuencia. Si no hay ningún valor a la derecha de los puntos suspensivos, se supone que la secuencia es infinita.

Entonces, significa el conjunto de todos los números naturales tales que . Otra notación para conjunto es la notación de paréntesis . Una pequeña excepción es el caso en que es el conjunto vacío . De manera similar, denota el conjunto de todos para . ${\ estilo de visualización \ {1, \ puntos, n \}}$ $i$ $1\leqslant i\leqslant n$ ${\ estilo de visualización \ {1, \ puntos, n \}}$ $[norte]$ $n=0$ ${\ estilo de visualización [0] = \ {1, \ puntos, 0 \}}$ $\conjunto vacio$ ${\ estilo de visualización \ {a_ {1}, \ puntos, a_ {n} \}}$ $ai}$ $1\leqslant i\leqslant n$

En los ejemplos dados, cada conjunto se describe enumerando sus elementos. No todos los conjuntos se pueden describir de esta manera, o incluso si se pueden describir de esta manera, la enumeración de sus elementos puede ser demasiado larga o complicada para usar este método. Por esta razón, muchos conjuntos se definen por propiedades que caracterizan a los elementos del conjunto. Esta caracterización se puede dar de manera informal usando lenguaje prosaico, como en el siguiente ejemplo.

$\{$ Los números de las casas a lo largo de la avenida Kosygin son el conjunto de todos los números de las casas a lo largo de la avenida Kosygin. $\}$

Sin embargo, este enfoque puede conducir a la pérdida de precisión o ambigüedad. Por lo tanto, una lista de direcciones a lo largo de la avenida Kosygin puede significar tanto una lista de casas como una lista de apartamentos en estas casas.

Definición de conjuntos por predicados

Los predicados se pueden usar para escribir un conjunto, en lugar de una enumeración explícita de elementos [3] . Esta forma de notación de conjuntos tiene tres partes: una variable, dos puntos o una barra vertical como separador y un predicado booleano . En este caso, hay una variable a la izquierda del delimitador y una regla a la derecha. Estas tres partes están encerradas entre llaves:

{\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\))

{\ estilo de visualización \ {x: \ Phi (x) \}.}

El delimitador se puede leer " tal que " [4] , "para el cual" o "con propiedad". La fórmula Φ( x ) se llama regla o predicado . Todos los valores de la variable x para los que el predicado es verdadero (es decir, es verdadero) pertenecen al conjunto definido. Todos los valores de x para los que falla el predicado no pertenecen al conjunto. Por tanto, es el conjunto de todos los valores de x para los que la fórmula Φ [5] es verdadera . Puede ser el conjunto vacío si ningún valor de x satisface la fórmula. ${\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\))$

Alcance

El alcance de E puede aparecer a la izquierda de la barra vertical [6] :

\{x\in E\mid \Phi (x)\},

o se puede combinar con un predicado:

\{x\mid x\in E{\text{ y }}\Phi (x)\}\quad {\text{o}}\quad \{x\mid x\in E\land \Phi (X)\}.

El símbolo ∈ aquí significa perteneciente al conjunto , mientras que el símbolo significa el operador lógico "Y", conocido como conjunción . Esta notación representa el conjunto de todos los valores de x que pertenecen a algún conjunto E para el cual el predicado se evalúa como verdadero , es decir, verdadero (ver el párrafo " Axioma de existencia " a continuación). Si es una conjunción , entonces la forma a veces se escribe como , usando una coma en lugar de . $\tierra$ $\fi (x)$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {1} (x) \ tierra \ Phi _ {2} (x)}$ ${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\))$ ${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi_{1}(x),\Phi_{2}(x)\))$ $\tierra$

En general, es incorrecto considerar un conjunto sin definir un ámbito, ya que un dominio puede representar un subconjunto de todos los objetos posibles que pueden existir para los cuales el predicado es verdadero. Esto puede conducir fácilmente a contradicciones y paradojas. Por ejemplo, la paradoja de Russell muestra que la expresión , aunque parece una expresión bien formada para definir un conjunto, no puede definir un conjunto sin generar una contradicción [7] . ${\ estilo de visualización \ {x ~ | ~ x \ no \ en x \))$

En los casos en que el conjunto E esté claramente definido por el contexto, se puede omitir. En la literatura, es costumbre que el autor indique el dominio de definición de antemano, y luego el dominio no se indica al definir conjuntos. Por ejemplo, un autor podría escribir algo como: "A menos que se indique lo contrario, las variables pertenecen a los números naturales".

Ejemplos

Los siguientes ejemplos ilustran conjuntos concretos definidos por predicados. En cada caso, el alcance está a la izquierda de la barra vertical, mientras que la regla está a la derecha de la misma.

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x>0\))$ es el conjunto de todos los números reales estrictamente positivos , que se puede escribir en notación de intervalo como . $(0,\infty)$
${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid |x|=1\))$ es un conjunto Este conjunto también se puede definir como ; consulte el párrafo "los predicados equivalentes definen conjuntos iguales " a continuación. ${\ estilo de visualización \ {-1,1 \}}$ $\{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}$
Para cada entero m podemos definir . Como ejemplos: y . ${\displaystyle G_{m}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geqslant m\}=\{m,m+1,m+2,\ldots \))$ ${\displaystyle G_{3}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geqslant 3\}=\{3,4,5,\ldots \))$ ${\displaystyle G_{-2}=\{-2,-1,0,\ldots\))$
${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid 0<y<f(x)\))$ es el conjunto de pares de números reales tales que y es mayor que 0 y menor que f ( x ) para una función f dada . Aquí el producto cartesiano significa el conjunto de todos los pares ordenados de números reales. $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$
${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid (\exists k)[k\in \mathbb {N} \land n=2k]\))$ es el conjunto de todos los números naturales pares . El signo representa la operación "Y", que se conoce como conjunción . El signo ∃ significa "existe", lo que se conoce como el cuantificador existencial . Así, por ejemplo, se lee como “existe x tal que P ( x )…”. $\tierra$ $(\existe x)P(x)$
${\displaystyle \{n\mid (\existe k\in \mathbb {N})[n=2k]\))$ es otra forma de escribir el mismo conjunto de números naturales pares. No es necesario exigir que n sea un número natural, ya que esto se sigue de la fórmula del lado derecho.
$\{a\in \mathbb {R} \mid (\exists p\in \mathbb {Z} )(\exists q\in \mathbb {Z} )[q\not =0\land aq=p ]\}$ es el conjunto de los números racionales , es decir, estos son números reales que se pueden escribir como cociente de dos enteros .

Expresiones más complejas en el lado izquierdo

La extensión de la notación de conjuntos reemplaza la única variable x con la expresión . Entonces, en su lugar , podemos tener , que se puede leer como ${\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\))$ $\{\Psi (x)\mid \Phi (x)\},$

\{\Psi (x)\mid \Phi (x)\}=\{y\mid \exists (x),y=\Psi (x){\text{ y }}\Phi (x) \}

Por ejemplo:

$\{2n\mid n\in \mathbb {N} \}$ , donde es el conjunto de todos los números naturales es el conjunto de todos los números naturales pares. $\matemáticas {N}$
${\displaystyle \{p/q\mid p,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\))$ , donde es el conjunto de todos los números enteros - esto es ℚ , el conjunto de todos los números racionales. $\matemáticas {Z}$
${\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \))$ es el conjunto de enteros impares.
${\displaystyle \{(t,2t+1)\mid t\in \mathbb {Z} \))$ crea un conjunto de pares, donde cada par consta de un número entero y su número impar correspondiente.

Si las funciones inversas se pueden especificar explícitamente, la expresión de la izquierda se puede eliminar por sustitución simple. Tomemos un conjunto como ejemplo . Hacemos una sustitución , de donde obtenemos , luego reemplazamos t en la forma de una notación de conjunto ${\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \))$ ${\ estilo de visualización u = 2t + 1}$ ${\ estilo de visualización t = (u-1)/2}$

\{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}=\{u\mid (u-1)/2\in \mathbb {Z} \}.

Los predicados equivalentes definen conjuntos iguales

Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Los conjuntos definidos por la notación de conjuntos son iguales si y solo si sus reglas de construcción son iguales, incluida la indicación del dominio de definición. Eso es

\{x\in A\mid P(x)\}=\{x\in B\mid Q(x)\}

si y solo si

(\forall t)[(t\in A\land P(t))\Leftrightarrow (t\in B\land Q(t))]

Por lo tanto, para probar la igualdad de dos conjuntos definidos por la notación de un conjunto, basta probar la equivalencia de sus predicados, incluidos sus dominios.

Por ejemplo:

{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}=\{x\in \mathbb {Q} \mid |x|=1\))

Dado que las dos reglas de predicado son lógicamente equivalentes:

(x\in \mathbb {R} \land x^{2}=1)\Leftrightarrow (x\in \mathbb {Q} \land |x|=1).

Esta equivalencia se cumple porque para cualquier número real x tenemos si y solo si x es racional y . En particular, ambos conjuntos son iguales al conjunto . $x^{2}=1$ ${\ estilo de visualización | x | = 1}$ ${\ estilo de visualización \ {-1,1 \}}$

El axioma de la existencia de un conjunto

En muchas teorías formales de conjuntos, como el sistema Zermelo-Fraenkel , la notación del conjunto no forma parte de la sintaxis formal de la teoría. En cambio, existe un esquema axiomático para la existencia de un conjunto , que establece que si E es un conjunto y Φ( x ) es una fórmula de la teoría de conjuntos, entonces existe un conjunto Y cuyos miembros son exactamente los elementos de E que satisfacen la condición Φ :

(\forall E)(\exists Y)(\forall x)[x\in Y\Leftrightarrow x\in E\land \Phi (x)].

El conjunto Y obtenido de este axioma es exactamente el conjunto descrito en forma de notación de conjunto . ${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\))$

Paralelos en lenguajes de programación

Una notación similar disponible en muchos lenguajes de programación (especialmente Python y Haskell ) es la inclusión de listas , que combina las operaciones de mapa y filtro en una o más listas .

En Python, los corchetes de notación de conjuntos se reemplazan con corchetes, paréntesis o llaves para definir una lista, un generador y un conjunto de objetos, respectivamente. Python usa sintaxis en inglés. Haskell reemplaza los corchetes de conjunto con corchetes y usa símbolos matemáticos, incluido el carácter de tubería estándar para conjuntos.

Lo mismo se puede lograr en Scala usando Sequence Comprehensions, donde la palabra clave "for" devuelve una lista de variables obtenidas usando la palabra clave "yield" [8] .

Considere las siguientes asignaciones de conjuntos en algunos lenguajes de programación:

	Ejemplo 1	Ejemplo 2
Establecer notación	$\{l\ \|\ l\en L\}$	${\displaystyle \{(k,x)\ \|\ k\in K\cuña x\in X\cuña P(x)\))$
Pitón	{ l para l en L }	{( k , x ) para k en K para x en X si P ( x )}
Haskell	[ l \| l < -ls ]	[( k , x ) \| k <- ks , x <- xs , p x ]
Scala	para ( l <- L ) rendimiento l	para ( k <- K ; x <- X si P ( x )) rendimiento ( k , x )
C#	de l en L seleccione l	de k en K de x en X donde P ( x ) seleccione ( k , x )
sql	SELECCIONE l DE L_set	SELECCIONE k , x DESDE K_set , X_set DONDE P ( x )

La notación de conjuntos y la inclusión de listas son casos especiales de la notación más general conocida como generador de mónadas . Esta notación permite operaciones como mapa/filtro en cualquier mónada C nula .

Notas

↑ Rosen, 2007 , pág. 111–112.
↑ Aufmann, Barker, Lockwood, 2007 , pág. 6.
↑ Cullinan, 2012 , pág. 44ss.
↑ Lista completa de símbolos de la teoría de conjuntos . Bóveda de matemáticas (11 de abril de 2020). Consultado el 20 de agosto de 2020. Archivado desde el original el 18 de agosto de 2020.
↑ Weisstein, Eric W. Set . mundomatemático.wolfram.com . Consultado el 20 de agosto de 2020. Archivado desde el original el 7 de octubre de 2020.
↑ Notación del constructor de conjuntos . mathsisfun.com . Consultado el 20 de agosto de 2020. Archivado desde el original el 21 de octubre de 2020. (indefinido)
↑ Irvine, Alemán, 2016 .
↑ Comprensiones de secuencias . Scala. Consultado el 6 de agosto de 2017. Archivado desde el original el 18 de abril de 2021. (indefinido)

Literatura

Kenneth Rosen. Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones . — 6to. - Nueva York, NY: McGraw-Hill, 2007. - P. 111-112. - ISBN 978-0-07-288008-3 .
Richard Aufmann, Vernon C. Barker, Joanne Lockwood. . - Brooks Cole, 2007. - Pág. 6..
Michael J. Cullinan. Una transición a las matemáticas con demostraciones. - Jones & Bartlett, 2012. - Pág. 44ff.
Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Paradoja de Russell // Enciclopedia de Filosofía de Stanford . — 2016.