Fórmula de Breit-Wigner

La fórmula de Breit-Wigner o la distribución relativista de Breit-Wigner es una fórmula que describe una distribución de probabilidad continua utilizando una densidad de probabilidad dada en la forma

f(E)={\frac {k}{\left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2))} ~,

donde K es una constante de proporcionalidad igual a y La ecuación se escribe usando unidades naturales , donde ħ = c = 1. Nombrada así por Gregory Breit y Eugene Wigner , quienes la obtuvieron en 1936 por resonancia nuclear [1] . $k={\frac {2{\sqrt {2}}M\Gamma \gamma }{\pi {\sqrt {M^{2}+\gamma ))))$ $\gamma ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right))).$

La fórmula se usa a menudo para modelar resonancias (partículas inestables) en física de alta energía. En este caso, E es la energía en el centro del sistema de masa que causa la resonancia, M es la masa de la resonancia y Γ es el ancho de la resonancia ( ancho de decaimiento ) relacionado con su vida útil promedio de acuerdo con la fórmula τ = 1 / Γ, (en unidades La fórmula SI se escribirá como τ = ħ / Γ). La probabilidad de ocurrencia de una resonancia a una energía dada E es proporcional a f ( E ), de modo que la gráfica de la tasa de ocurrencia de partículas inestables versus energía toma la forma de una distribución relativista de Breit-Wigner. Nótese que para los valores de Etal que | mi 2 - m 2 | = MΓ , (por lo tanto | E - M | = Γ / 2 para M >> Γ ), el valor de f cae al doble de su valor máximo, lo que justifica el nombre Г ancho a la mitad del máximo .

En el límite del ancho de fuga, Γ → 0, la partícula se vuelve estable, ya que la distribución lorentziana se vuelve infinitamente aguda 2 M δ( E 2 — M 2 ).

En general, Γ también puede ser una función de E ; esta dependencia, por regla general, solo es importante cuando Γ no es pequeño en comparación con M , y es necesario tener en cuenta la dependencia del ancho del volumen del espacio de fase . Por ejemplo, durante la descomposición de un rho-mesón en un par de piones . Cuando la resonancia es amplia, el factor M 2 que viene antes de G 2 también debe cambiarse a E 2 (o E 4 / M 2 , etc.) [2] .

La forma de la distribución relativista de Breit-Wigner surge del propagador de una partícula inestable, que tiene un denominador de la forma p 2 - M 2 + i MΓ . Aquí, p 2 es el cuadrado del cuatro impulso de la partícula . Entonces, el propagador en el marco de reposo es proporcional a la amplitud de la mecánica cuántica del decaimiento utilizado para reconstruir la resonancia [3]

{\frac {\sqrt {k}}{\left(E^{2}-M^{2}\right)+iM\Gamma }}.

La distribución de probabilidad resultante es proporcional al cuadrado del módulo de amplitud, al igual que en la distribución relativista de Breit-Wigner para la función de densidad de probabilidad.

La forma de esta distribución es similar a la solución de la ecuación clásica de movimiento para un oscilador amortiguado con una fuerza sinusoidal externa. Tiene la forma estándar de la resonancia de Lorentz , o distribución de Cauchy , pero incluye las variables relativistas S = p 2 , aquí = E 2 .

La distribución es la solución de una ecuación diferencial análoga a las clásicas oscilaciones forzadas de un péndulo, con una potencia de entrada promediada en el tiempo

\left\{{\begin{matriz}{l}f'({\text{E)))\left(\left({\text{E))^{2}-M^{2} \right)^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}\right)-4{\text{E}}f({\text{E}})(M-{\text{E} })({\text{E}}+M)=0\\[10pt]f(M)={\frac {k}{\Gamma ^{2}M^{2}}}\end{matriz} }\Correcto\}

Notas

↑ Breit G. y Wigner E. Captura de neutrones lentos // Revisión física : diario . - 1936. - Vol. 49 , núm. 7 . — Pág. 519 . -doi : 10.1103 / PhysRev.49.519 .
↑ Bohm A., Sato Y. Resonancias relativistas: sus masas, anchos, tiempos de vida, superposición y evolución causal // Physical Review D : revista . - 2005. - vol. 71 , núm. 8 _ -doi : 10.1103 / PhysRevD.71.085018 .
↑ Brown, LS (1994). Quantum Field Theory , Cambridge University press, ISBN 978-0-521-46946-3 , Capítulo 6.3.