Fórmula de Leibniz para determinantes

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La fórmula de Leibniz es una expresión para el determinante de una matriz de tamaño cuadrado en términos de permutaciones de sus elementos: ${\ estilo de visualización A = (a_ {i, j})}$ $n\veces n$

\det(A)=\sum_{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\tau ( i)}=\sum_{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i},

donde es la función de signo de permutación en el grupo de permutación , que devuelve +1 o −1 para permutaciones pares e impares , respectivamente. $\operatorname{signo}$ $S_{n}$

Usando el símbolo de Levi-Civita y las convenciones de suma de Einstein :

\det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}}

Nombrado en honor a Gottfried Leibniz , quien introdujo el concepto de determinante y cómo calcularlo en 1678 .

La única función multilineal alternante de signos que se convierte en la unidad en la matriz identidad es la función definida por la fórmula de Leibniz [1] ; por lo tanto, el determinante se puede definir de manera única como una función multilineal alterna , multilineal con respecto a las columnas, que se desvanece a la unidad en la matriz identidad.

Complejidad computacional

El cálculo directo mediante la fórmula de Leibniz generalmente requiere operaciones, es decir, el número de operaciones es asintóticamente proporcional al factorial (el número de permutaciones ordenadas de elementos). Para grandes , el determinante se puede calcular en operaciones generando una descomposición LU (generalmente obtenida usando métodos gaussianos o similares), en cuyo caso , y los determinantes de las matrices triangulares y son iguales a los productos de los elementos diagonales de las matrices. (Sin embargo, en las aplicaciones prácticas del álgebra lineal computacional, rara vez se utiliza el cálculo explícito del determinante [2] ). $\Omega (n!\cdot n)$ $norte$ $norte$ $norte$ $O(n^{3})$ $A=LU$ ${\ estilo de visualización \ det A = (\ det L) (\ det U)}$ $L$ $tu$

Véase también

Literatura

Determinante : artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . D. I. Suprunenko
Lloyd N. Trefethen, David Bau. Álgebra lineal numérica. - SIAM , 1997. - ISBN 978-0898713619 .
Sergio Lang. Álgebra lineal. - Springer-Verlag, 2004. - (Textos de licenciatura en matemáticas). — ISBN 0-387-96412-6 .

↑ Lang, 2004 , pág. 148 Teorema 2.3.
↑ Trefethen & Bau, 1997 .