Fórmulas de Newton-Cotes

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Las fórmulas de Newton-Cotes (Cotes) , también llamadas reglas de cuadratura de Newton-Cotes o simplemente reglas de Newton-Cotes, son un grupo de fórmulas para la integración numérica (también llamadas cuadraturas ) basadas en el cálculo de una función integrable en puntos igualmente espaciados. Las fórmulas llevan el nombre de Isaac Newton y Roger Cotes .

Las fórmulas de Newton-Kots son útiles cuando los valores de la función integrable se dan en puntos espaciados a la misma distancia entre sí. Si es posible cambiar la posición de los puntos, otros métodos, como el método de Gauss y el método de cuadratura de Clenshaw-Curtis , pueden ser más adecuados

Descripción

Se supone que los valores de la función f están definidos en el segmento y se conocen en el punto ubicado a la misma distancia entre sí. Si y , es decir, los valores de la función se usan en los límites del intervalo, entonces la función se denomina cuadratura del tipo "cerrado", y si y , es decir, los valores de la función en los puntos extremos del intervalo no se utilizan, entonces el tipo "abierto" [1] . Las fórmulas de Newton-Cotes que usan puntos se pueden definir (para ambos casos) como [2] $[a,b]$ $n+1$ $a\leqslant x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leqslant b$ ${\ estilo de visualización x_ {0} = un}$ ${\ estilo de visualización x_ {n} = b}$ $x_{0}>a$ $x_{n}<b$ $n+1$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}A_{i}\,f(x_{i})

dónde

para una fórmula de tipo cerrado , donde , $x_{i}=a+ih$ $h={\frac {ba}{n}}$
para una fórmula de tipo abierto , donde . $x_{i}=a+(i+1)h$ $h={\frac{ba}{n+2))$

El número h se denomina tamaño de paso y coeficiente de cuadratura [3] . $Ai}$

$Ai}$ se puede calcular como integrales de los polinomios de base de Lagrange , que dependen solo y no dependen de la función f . Sea un polinomio de interpolación en forma de Lagrange para puntos dados , entonces $x_{yo}$ $L(x)$ ${\ estilo de visualización (x_{0}, f (x_ {0})), \ puntos, (x_ {n}, f (x_ {n}))}$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b} \left(\sum_{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\right)\,dx=\sum_{i=0}^{n} f(x_{i})\soporte {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{A_{i}}.

Inestabilidad para altas potencias

Se pueden construir las fórmulas de Newton-Cotes de cualquier grado n . Sin embargo, para n grande , la regla de Newton-Cotes a veces puede verse afectada por el fenómeno de Runge [4] , donde el error crece exponencialmente para n grande . Los métodos como la cuadratura de Gauss o la cuadratura de Clenshaw-Curtis, con distancias desiguales entre los puntos (que tienen una mayor densidad en los extremos del intervalo de integración), son estables y más precisos y, por lo tanto, suelen ser más preferibles que la cuadratura de Newton-Cotes. Si estos métodos no se pueden utilizar, es decir, si los valores de la expresión a integrar se dan solo en una cuadrícula fija con distancias iguales, el fenómeno de Runge se puede evitar utilizando la partición por intervalos, como se explica a continuación.

Además, se pueden construir fórmulas estables de Newton-Cotes si la interpolación se reemplaza por el método de mínimos cuadrados. Esto permite escribir fórmulas numéricamente estables incluso para potencias altas [5] [6] .

Fórmulas de Newton-Cotes de tipo cerrado

La siguiente tabla enumera algunas de las fórmulas de Newton-Cotes de tipo cerrado. Para let , y la notación es una abreviatura de . $0\leqslant i\leqslant n$ $x_{i}=a+i{\tfrac {ba}{n}}=a+ih$ $f_{i}$ $f(x_{i})$

Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

norte	Tamaño de paso h	Nombre común	Fórmula	Error
una	$licenciado en Letras$	método trapezoidal	${\frac{h}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {1}{12}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac{ba}{2))$	Fórmula de Simpson	${\frac{h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi)$
3	${\frac{ba}{3))$	Simpson fórmula 3/8	${\frac{3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
cuatro	${\frac{ba}{4))$	Regla de Boole	${\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(\xi )$

La regla de Boole a veces se denomina erróneamente regla de Bode, como resultado de un error tipográfico en el libro de Abramovitz y Steegan [7] [8] .

El grado de tamaño del segmento h en el error muestra la tasa a la que disminuye el error de aproximación . El orden de la derivada de f con error da el grado más pequeño de un polinomio que no se puede calcular exactamente (es decir, con error cero) mediante esta regla. El número debe tomarse del intervalo (a, b). $\xi$

Fórmulas de Newton-Cotes de tipo abierto

La tabla muestra algunas fórmulas de Newton-Cotes de tipo abierto. De nuevo, abreviatura de , donde . $f_{i}$ $f(x_{i})$ $x_{i}=a+i{\frac{ba}{n+2}}$

Fórmulas abiertas de Newton-Cotes

norte	Tamaño de paso h	Nombre común	Fórmula	Error
0	${\frac{ba}{2))$	Suma de Riemann o suma media de Riemann	${\ estilo de visualización 2hf_ {1} \,}$	${\frac {1}{3}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
una	${\frac{ba}{3))$		${\frac{3}{2}}h(f_{1}+f_{2})$	${\frac {3}{4}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac{ba}{4))$	Fórmula de Milne	${\frac{4}{3}}h(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})$	${\frac {14}{45}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac{ba}{5}}$		${\frac{5}{24}}h(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})$	${\frac {95}{144}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$

Dividir un intervalo

Para que la fórmula de Newton-Cotes sea más precisa, la longitud h debe ser pequeña. Esto significa que el propio intervalo de integración debe ser pequeño, lo que no es el caso en la mayoría de los casos. Por este motivo, la integración numérica suele realizarse dividiendo el intervalo en subintervalos más pequeños, sobre cada uno de los cuales se aplica la fórmula de Newton-Cotes, tras lo cual se suman los resultados. Consulte el artículo Integración numérica . $[a,b]$ $[a,b]$

Véase también

Notas

↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 240.
↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006 , p. 386-387.
↑ Kalashnikov, Fedotkin, Fokina, 2016 , pág. 5.8.
↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006 , p. 390-391.
↑ Pavel Holoborodko. Fórmulas estables de Newton-Cotes (24 de marzo de 2011). Consultado el 17 de agosto de 2015. Archivado desde el original el 31 de diciembre de 2017. (indefinido)
↑ Pavel Holoborodko. Fórmulas estables de Newton-Cotes (tipo abierto) (20 de mayo de 2012). Consultado el 18 de agosto de 2015. Archivado desde el original el 20 de diciembre de 2017. (indefinido)
↑ Abramowitz, Stegun, 1972 .
↑ Booles Rule en el sitio Wolfram Mathworld escribió mal el año "1960" (en lugar de "1860") . Consultado el 13 de enero de 2022. Archivado desde el original el 24 de enero de 2018. (indefinido)

Literatura

Directrices para la resolución de problemas de integración numérica / comp. A. L. Kalashnikov, A. M. Fedotkin, V. N. Fokina. - Nizhni Nóvgorod, 2016.
Quarteroni. Matemáticas numéricas. — 2do. - Springer, 2006. - ISBN 978-3-540-34658-6 .
Sección 25.4 // Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas / M. Abramowitz, IA Stegun, eds.. - Nueva York: Dover, 1972.
Abramovitz M., Stigan I. Manual de funciones especiales, Con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas. - Moscú: "Nauka", 1979.
George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, Cleve B. Moler. Sección 5.1. // Métodos informáticos para cálculos matemáticos . — Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice–Hall, 1977.
Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP Sección 4.1. Fórmulas clásicas para abscisas igualmente espaciadas // Recetas numéricas: el arte de la computación científica. — 3er. - Nueva York: Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-88068-8 .
Josef Stoer, Roland Bulirsch. Sección 3.1 // Introducción al análisis numérico . — Nueva York: Springer-Verlag, 1980.
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Métodos computacionales. - 2ª ed. -M.:Fizmatlit, 1962. - T. I. (Ruso)

Enlaces

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), fórmula de cuadratura de Newton-Cotes , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Fórmulas de Newton-Cotes en www.math-linux.com
Weisstein, Eric W. Newton–Cotes Formulas (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Integración de Newton-Cotes , numbermathematics.com