Método de Gauss (integración numérica)

El método de Gauss es un método de integración numérica que permite aumentar el orden algebraico de precisión de los métodos basados en fórmulas de interpolación mediante una elección especial de nodos de integración sin aumentar el número de valores del integrando utilizado. El método de Gauss permite lograr la máxima precisión algebraica para un número determinado de nodos de integración.

Por ejemplo, para dos nodos, puede obtener un método de precisión de tercer orden

I\approx {\frac {ba}{2}}\left(f\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {ba}{2{\sqrt {3} ))}\derecha)+f\izquierda({\frac {a+b}{2}}+{\frac {ba}{2{\sqrt {3}}}}\derecha)\derecha)\,

mientras que para nodos equidistantes del método por encima del segundo orden es imposible de obtener. En general, usando puntos, puedes obtener un método con un orden de precisión . Los valores de los nodos del método de Gauss por puntos son las raíces del polinomio de grado de Legendre . Los valores de peso se calculan mediante la fórmula , donde es la primera derivada del polinomio de Legendre . $norte$ $2n-1$ $norte$ $norte$ ${\displaystyle a_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})\,[P_{n}'(x_{i})]^{2))))$ $P_{n}'$

Para nodos y pesos tenga los siguientes valores: , pesos : . $n=3$ $x_{1,3}=\pm {\sqrt {0.6)),x_{2}=0$ $a_{1,3}={\frac {5}{9)),a_{2}={\frac {8}{9}}$

(El polinomio se define en el segmento ). $[-1,1]$

El más conocido es el método de los cinco puntos de Gauss.

Método de Gauss-Kronrod

La desventaja del método de Gauss es que no tiene una manera fácil (desde el punto de vista computacional) de estimar el error del valor obtenido de la integral. El uso de la regla de Runge al dividir el segmento de integración requiere calcular el integrando en aproximadamente el mismo número de puntos, mientras que no da casi ninguna ganancia en precisión, en contraste con los métodos simples, donde la precisión aumenta varias veces con cada nueva división. Kronrod propuso el siguiente método para estimar el valor de la integral

I\approx \sum_{{i=1}}^{{n}}a_{i}\,f(x_{i})+\sum_{{i=1}}^{{n+1} }b_{i}\,f(y_{i})

donde son los nodos del método de Gauss por puntos, y los parámetros , , se eligen de tal forma que el orden de precisión del método sea igual a . Luego, para estimar el error, puede usar la fórmula empírica : $x_{yo}$ $norte$ $3n+2$ $ai}$ $bi}$ $y_{yo}$ $3n+1$

\Delta =\left(200|I-I_{G}|\right)^{{1.5}}

donde es el valor aproximado de la integral obtenida por el método de Gauss sobre puntos. Las bibliotecas gsl y SLATEC para el cálculo de integrales definidas contienen rutinas utilizando el método de Gauss-Kronrod para 15, 21, 31, 41, 51 y 61 puntos. $YO G}$ $norte$

Véase también

Literatura

Boltachev G.Sh. Métodos numéricos en física térmica. Clase magistral Clase 3: Integración numérica

Cálculo integral

Principal

Generalizaciones
de la integral de Riemann

Transformaciones integrales

Integración numérica

teoría de la medida

Temas relacionados

Listas de integrales