El discriminante fundamental D es un entero invariante en la teoría de formas cuadráticas integrales en dos variables (formas cuadráticas binarias). Si es una forma cuadrática con coeficientes enteros, entonces es el discriminante de la forma Q ( x , y ).
Hay condiciones de congruencia explícitas , que dan muchos discriminantes fundamentales. Concretamente − D es un discriminante fundamental si y solo si se cumplen las siguientes condiciones
Los primeros diez discriminantes fundamentales positivos son:
1 , 5 , 8 , 12 , 13 , 17 , 21 , 24 , 28 , 29 , 33 ( secuencia OEIS A003658 ).Los diez primeros discriminantes fundamentales negativos son:
−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (secuencia A003657 en OEIS ).Existe una conexión entre la teoría de las formas cuadráticas binarias integrales y la aritmética de los campos numéricos cuadráticos . La propiedad principal de esta conexión es que D 0 es un discriminante fundamental si y solo si o D 0 es el discriminante de un cuerpo numérico cuadrático. Hay exactamente un campo cuadrático, salvo isomorfismo , para cualquier discriminante fundamental .
Advertencia : hay una razón por la que algunos autores no consideran que 1 sea un discriminante fundamental: se puede considerar como un campo Q "cuadrático" degenerado ( números racionales ).
Los discriminantes fundamentales se pueden describir por su descomposición en números primos positivos y negativos . Definamos un conjunto
,donde los primos ≡ 1 (mod 4) se toman positivos y los números comparables a 3 se toman negativos. Entonces un número es un discriminante fundamental si y solo si es un producto de términos coprimos de S.