Discriminante fundamental

El discriminante fundamental D es un entero invariante en la teoría de formas cuadráticas integrales en dos variables (formas cuadráticas binarias). Si es una forma cuadrática con coeficientes enteros, entonces es el discriminante de la forma Q ( x , y ). ${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2))$ $D=b^{2}-4ac$

Hay condiciones de congruencia explícitas , que dan muchos discriminantes fundamentales. Concretamente − D es un discriminante fundamental si y solo si se cumplen las siguientes condiciones

D ≡ 1 (mod 4) y libre de cuadrados ,
D = 4 m , donde m ≡ 2 o 3 (mod 4) y m y no tiene cuadrados .

Los primeros diez discriminantes fundamentales positivos son:

1 , 5 , 8 , 12 , 13 , 17 , 21 , 24 , 28 , 29 , 33 ( secuencia OEIS A003658 ).

Los diez primeros discriminantes fundamentales negativos son:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (secuencia A003657 en OEIS ).

Conexión con raíces cuadradas

Existe una conexión entre la teoría de las formas cuadráticas binarias integrales y la aritmética de los campos numéricos cuadráticos . La propiedad principal de esta conexión es que D 0 es un discriminante fundamental si y solo si o D 0 es el discriminante de un cuerpo numérico cuadrático. Hay exactamente un campo cuadrático, salvo isomorfismo , para cualquier discriminante fundamental . ${\ estilo de visualización D_ {0} = 1}$ $D_{0}\neq 1$

Advertencia : hay una razón por la que algunos autores no consideran que 1 sea un discriminante fundamental: se puede considerar como un campo Q "cuadrático" degenerado ( números racionales ). ${\ estilo de visualización D_ {0} = 1}$

Descomposición

Los discriminantes fundamentales se pueden describir por su descomposición en números primos positivos y negativos . Definamos un conjunto

{\displaystyle S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,\;\ldots \))

donde los primos ≡ 1 (mod 4) se toman positivos y los números comparables a 3 se toman negativos. Entonces un número es un discriminante fundamental si y solo si es un producto de términos coprimos de S. $D_{0}\neq 1$

Notas

Literatura

Enrique Cohen. Un curso de teoría de números algebraicos computacionales. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1993. - V. 138. - (Textos de Grado en Matemáticas). — ISBN 3-540-55640-0 .
Duncan Buell. Formas cuadráticas binarias: teoría clásica y computación moderna . - Springer-Verlag , 1989. - S. 69 . - ISBN 0-387-97037-1 .
Don Zagier. Zetafunktionen und quadratische Körper. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1981. - ISBN 978-3-540-10603-6 .