Derivado funcional

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En matemáticas y física teórica , la derivada funcional es una generalización de la derivada direccional . La diferencia radica en que para los segundos la diferenciación se realiza en la dirección de algún vector , mientras que para los primeros estamos hablando de una función. Ambos conceptos pueden verse como una generalización del cálculo diferencial habitual .

Hay dos tipos principales de derivadas funcionales, correspondientes a la definición general de la derivada de Fréchet y la derivada de Gateaux de una función en un espacio de Banach. En la práctica, a menudo no difieren.

Definición

Sea alguna funcional , es decir, una función definida sobre un cierto conjunto de funciones. El valor de un funcional en una función se denota por . Su derivada Gateaux (derivada direccional) es el límite (si existe) de la expresión . Aquí hay alguna función del dominio de definición . Tenga en cuenta que dicha derivada, en términos generales, depende de la elección de la función . En este sentido, la situación es bastante análoga a la de dimensión finita. Por ejemplo, una función es derivable en un punto a la derecha y a la izquierda, pero estas derivadas unilaterales son diferentes y, en el sentido habitual, esta función no es derivable en 0. $F$ $F$ $\fi$ $F[\phi]$ $\lim _{{\varepsilon \to 0}}{\frac {F[\phi +\varepsilon \delta \phi ]-F[\phi ]}{\varepsilon }}$ $\ delta \ phi$ $F$ $\ delta \ phi$ $y=|x|$ $x=0$

Mucho más a menudo en las aplicaciones, surge una derivada de la funcional, que es similar a la clásica derivada de dimensión finita y es un caso especial de la derivada de Gateaux. Sin dar una definición general, consideremos un ejemplo típico: la búsqueda de un extremo de un funcional en el conjunto de trayectorias que pasan por dos puntos dados. Tal problema surge en el estudio de problemas de mecánica clásica utilizando el principio de mínima acción , un tipo similar de problema de encontrar una figura de área máxima con un perímetro dado, etc.

Deje que el funcional tenga una forma integral [1] $F$

F[\phi ]=\int _{a}^{b}L(\phi ,{\dot \phi },t)dt

Su primera variación se llama la expresión

\delta F=F[\phi +\delta \phi ]-F[\phi ]

Si se representa en la forma

\delta F=\int _{a}^{b}S(\phi ,{\dot \phi },t)\delta \phi (t)dt

hasta valores de segundo orden con respecto a , entonces la función se denomina derivada funcional [2] con respecto a y denotada por . El funcional se llama derivable . $\ delta \ phi$ $S$ $F$ $\fi$ ${\frac {\delta F}{\delta \phi ))$

Específicamente, en este problema , pero en el caso general, la respuesta depende significativamente del enunciado del problema y de las condiciones de contorno. ${\frac {\delta F}{\delta \phi }}={\frac {\parcial L}{\parcial \phi }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\parcial L} {\parcial {\dot \phi ))}$

Segunda variación

Si el funcional es diferenciable, entonces es posible definir un análogo de la segunda derivada (en este caso, es bastante similar a la matriz de segundas derivadas parciales ). Expandiendo la variación total a segundo orden y descartando las cantidades de primer orden, obtenemos una expresión llamada segunda variación de la funcional : $\ delta F$ $\delta \varphi$

\delta ^{2}F=\iint {\frac {\delta ^{2}F}{\delta \varphi \delta \varphi ^{\prime ))}\delta \varphi (x)\delta \varphi ^ {\principal}(x^{\principal})dxdx^{\principal}

Propiedades

La derivada funcional con respecto a las propiedades es similar a la habitual. Por ejemplo:

Linealidad . ${\frac {\delta }{\delta \phi }}(\lambda F+\mu G)=\lambda {\frac {\delta F}{\delta \phi }}+\mu {\frac { \delta G}{\delta \phi )),\ \lambda ,\mu \in \mathbb {C}$
La identidad de Leibniz . ${\frac {\delta FG}{\delta \phi }}={\frac {\delta F}{\delta \phi }}G+F{\frac {\delta G}{\delta \phi }}$
Expansión de la variación total en derivadas parciales: $\delta F[\phi ,\psi ]={\frac {\delta F}{\delta \phi }}\delta \phi +{\frac {\delta F}{\delta \psi }}\delta \psi$
En el punto extremo del funcional, su derivada es igual a 0. El punto extremo es el punto mínimo (máximo) si la segunda variación es una forma cuadrática positiva (negativamente) definida .