Función de probabilidad

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Una función de probabilidad en la teoría de la probabilidad es una función que devuelve la probabilidad de que una variable aleatoria discreta tome un cierto valor. Por ejemplo, si es una función de probabilidad, la probabilidad de que tome un valor igual a 13 se calcula sustituyendo el valor en una función que ya devuelve una probabilidad, por ejemplo, 0,5; esto significa que la probabilidad de obtener el número 13 es 0,5. $X$ $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ $X$ ${\ estilo de visualización X = 13}$ ${\ estilo de visualización p (X) = p (13)}$

Si es una variable aleatoria escalar, la función de probabilidad viene dada por una tabla de valores posibles con las probabilidades correspondientes ( ); dicha tabla se denomina " serie de distribución " [1] . $X$ ${\ estilo de visualización x_ {i}, \, p_ {i}}$

La función de probabilidad es la forma más utilizada para caracterizar una distribución discreta . Juega el mismo papel que la densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua (sin embargo, en esta última situación, no estamos hablando de la probabilidad de realizar un valor específico , sino de la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria caiga en un determinado valor ). intervalo, que se encuentra integrando la densidad de probabilidad sobre este intervalo). $X$

Definiciones

Función de probabilidad arbitraria

Sea una medida de probabilidad sobre , es decir, se define un espacio de probabilidad donde denota el σ-álgebra de Borel sobre . Una medida de probabilidad se llama discreta si su soporte no es más que contable , es decir, no hay más que un subconjunto contable tal que . $\matemáticas {P}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\matemáticas {P}$ $X\subconjunto \mathbb {R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} (X) = 1}$

La función definida de la siguiente manera: $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$

p(x)=\left\{{\begin{matriz}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n }\setminus X,\end{matriz}}\right.

donde es una medida de probabilidad discreta , se llama función de probabilidad . Es importante entender aquí que es una función definida sobre conjuntos , no números, mientras que se define a través de , ya es una función definida sobre números. $\matemáticas {P}$ $\matemáticas {P}$ $\matemáticas {P}$ $p(x)$ $\matemáticas {P}$

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Sea ( ) una variable aleatoria (vector aleatorio). Luego induce (induce) una medida de probabilidad sobre (sobre ), llamada distribución. Una variable aleatoria se llama discreta si su distribución es discreta. La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta tiene la forma: $X:\Omega\to\mathbb {R}$ ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n))$ $\mathbb{P} ^{X}$ $\matemáticas {R}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $p_{X}$ $X$

p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)

p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\en \mathbb {N} ,

donde es el conjunto de valores que . ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots\))$ $X$

Propiedades de la función de probabilidad

De las propiedades de la probabilidad , es obvio[ ¿a quién? ] sigue:

$p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N}$ .
$\sum \limits _{i=1}^{\infty}p_{X}(x_{i})=1$ .
La función de distribución de una variable aleatoria se puede expresar en términos de su función de probabilidad:

F_{X}(x)=\sum \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')

si , entonces ${\ estilo de visualización X = (X_{1},X_{2})}$

\sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1} )

\sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2} )

donde es la función de probabilidad del vector , y es la función de probabilidad de la cantidad . Esta propiedad obviamente se generaliza a vectores aleatorios de dimensión . $p_{X_{1},X_{2))$ ${\ estilo de visualización (X_{1},X_{2})}$ $p_{X_{i))$ $X_{i},\;i=1,2$ $n>2$

La expectativa matemática de una función a partir de una cantidad discreta, cuando existe, es:

{\displaystyle \mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{n}g(x_{i})\,p_{i))

siempre que la serie del lado derecho converja absolutamente .

Ejemplos de distribuciones discretas

Véase también

Densidad de probabilidad

Notas

↑ E. S. Wentzel , A. A. Ovcharov Teoría de la probabilidad. M.: Nauka (1973), véase pág. 88.