Distribución binomial negativa

Distribución binomial negativa
Función de probabilidad
Designacion	${\ estilo de visualización \ matemáticas {NB} (r, p)}$
Opciones	$r>0$ ${\ estilo de visualización p \ en (0; 1)}$ $q\equiv 1-p$
Transportador	$k\en \{0,1,2,\ldots\}$
Función de probabilidad	${\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)))\,p^{r}\,q^{k))$
función de distribución	${\ estilo de visualización I_ {p} (r, k + 1)}$
Valor esperado	${\frac{rq}{p}}$
Moda	$\left\lpiso {\frac {(r-1)q}{p}}\right\rpiso$ si si ${\ estilo de visualización \ r> 1 \}$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización r \ leq 1}$
Dispersión	${\ estilo de visualización {\ frac {rq} {p ^ {2}}}}$
Coeficiente de asimetría	${\ Displaystyle {\ frac {2-p} {\ sqrt {r \, q}}}}$
Coeficiente de curtosis	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r\,q}}$
Función generadora de momentos	$\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}$
función característica	$\left({\frac {p}{1-qe^{i\,t}}}\right)^{r}$

La distribución binomial negativa , también llamada distribución de Pascal, es la distribución de una variable aleatoria discreta igual al número de fallas en una secuencia de ensayos de Bernoulli con una probabilidad de éxito anterior al enésimo éxito. $pags$ $r$

Definición

Sea una secuencia de variables aleatorias independientes con la distribución de Bernoulli , es decir $\{X_{i}\}_{{i=1}}^{{\infty}}$

X_{i}=\left\{{\begin{matriz}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matriz}}\right.,\;i\in \mathbb {N } .

Construimos una variable aleatoria de la siguiente manera. Sea el número del enésimo éxito en esta secuencia. entonces _ Más estrictamente, deja . Después $Y$ ${\ estilo de visualización k + r}$ $r$ ${\ estilo de visualización Y = k}$ $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

Y=\inf\{n\mid S_{n}=r\}-r

La distribución de una variable aleatoria así definida se denomina binomial negativa. Escribe: . $Y$ $Y\sim \mathrm {NB} (r,p)$

Funciones de probabilidad y distribución

La función de probabilidad de una variable aleatoria tiene la forma: $Y$

\mathbb {P} (Y=k)={\binom {k+r-1}{k))\,p^{r}q^{k},\;k=0,1,2 ,\ldots

La función de distribución es constante por partes, y sus valores en puntos enteros se pueden expresar en términos de la función beta incompleta : $Y$

F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)

Momentos

La función generadora de los momentos de la distribución binomial negativa tiene la forma:

M_{Y}(t)=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}

dónde

\mathbb {E} [Y]={\frac {rq}{p))

{\displaystyle \mathrm {D} [Y]={\frac {rq}{p^{2))))

Propiedades

Deja entonces $Y_{i}\sim NB(r_{i},p)$ $\sum_{i}Y_{i}\sim NB\left(\sum_{i}r_{i},p\right)$

Casos especiales de la distribución binomial negativa

Como r→∞, la distribución binomial negativa se convierte en la distribución de Poisson
Si el parámetro r es un número entero, la distribución binomial negativa se convierte en la distribución generalizada de Bose-Einstein [1] .
Para r=1, la distribución binomial negativa se convierte en la distribución geométrica
Para r=1, la distribución geométrica resultante es la distribución de Bose-Einstein para una sola fuente [1] .

Notas

↑ 1 2 Schopper H. (Ed.) Electron - Interacciones de positrones. Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. P. 133// https://www.twirpx.org/file/3458790/ Archivado el 10 de mayo de 2021 en Wayback Machine .

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula