Distribución geométrica

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La distribución geométrica en la teoría de la probabilidad significa una de dos distribuciones de una variable aleatoria discreta :

distribución de probabilidad de una variable aleatoria igual al número del primer "éxito" en una serie de ensayos de Bernoulli y tomando valores ; $X$ $n=1,2,3,...$
distribución de probabilidad de una variable aleatoria igual al número de "fracasos" antes del primer "éxito" y tomando los valores . ${\ estilo de visualización Y = X-1}$ ${\ estilo de visualización n = 0,1,2,...}$

Definición

Se dice que una variable aleatoria tiene una distribución geométrica con parámetro , y se escribe si toma valores con probabilidades . Una variable aleatoria con esta distribución tiene el significado del número del primer ensayo exitoso en el esquema de Bernoulli con probabilidad de éxito . $X$ ${\ estilo de visualización p \ en (0,1)}$ $\mathrm {Geometría} _{1}(p)$ ${\ estilo de visualización n = 1,2,3,...}$ $\mathbb {P} (X=n)=(1-p)^{n-1}p$ $pags$

Sea una secuencia infinita de variables aleatorias independientes con la distribución de Bernoulli , es decir $Z_{1},\ldots,Z_{n},\ldots$

Z_{i}=\left\{{\begin{matriz}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matriz}}\right.,\;i=1,2,\ puntos

. Construyamos una variable aleatoria : el número de "fracasos" antes del primer "éxito". La distribución de una variable aleatoria se llama geométrica con la probabilidad de "éxito" , que se denota de la siguiente manera: . La función de probabilidad de una variable aleatoria tiene la forma: .

Y=\min \left\{i\mid Z_{i}=1\right\}-1

Y

pags

Y\sim \mathrm {Geometría} _{0}(p)

Y

\mathbb{P}(Y = n) = q^np,\; n=0,1,2,\l puntos

Nota

A veces se asume por definición que es el número del primer "éxito". Entonces la función de probabilidad toma la forma donde . La tabla de la derecha muestra las fórmulas para ambas opciones. $X$ $\mathbb {P} (X=n)=q^{n-1}p,\;$ $n=1,2,3,\ldots$
La función de probabilidad es una progresión geométrica , de ahí viene el nombre de la distribución.

Momentos

Sea y . Entonces la función generatriz de los momentos de la distribución geométrica tiene la forma: $X\sim \mathrm {Geometría} _{1}(p)$ $Y\sim \mathrm {Geometría} _{0}(p)$

M_{Y}(t)={\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}

dónde

\mathbb {E} [X]={\frac {1}{p))

{\displaystyle \mathrm {D} [X]={\frac {q}{p^{2))))

. Es justo eso .

\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [X-1]={\frac {1}{p}}-1={\frac {1-p}{p}}={ \frac{q}{p}}

Propiedades de la distribución geométrica

De todas las distribuciones discretas con soporte y media fija , la distribución geométrica es una de las distribuciones con la máxima entropía de información . $\{1,2,3,\puntos\}$ $\mu>1$ $\mathrm{Geometría}(1/\mu)$
Si y son independientes , entonces $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}\sim \mathrm {Geom} (p_{i}),\;i=1,\ldots,n$

X=\min \limits _{i}(X_{i})\sim \mathrm {Geom} \left(1-\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{ yo})\derecho)

La distribución geométrica es infinitamente divisible .

Falta de memoria

Si , entonces , es decir, la cantidad de "fallas" pasadas no afecta la cantidad de "fallas" futuras. $X\sim \mathrm {Geometría} (p)$ $\mathbb {P} (X>m+n\mid X\geq m)=\mathbb {P} (X>n)\;\forall m,n\in \mathbb {N} \cup \ {0\}$

La distribución geométrica es la única distribución discreta con la propiedad de no memoria .

Relación con otras distribuciones

La distribución geométrica es un caso especial de la distribución binomial negativa : . $\mathrm{Geometría}(p) \equiv \mathrm{NOTA}(1,p)$
Si y son independientes , entonces $Y_1,\ldots, Y_n$ $Y_i \sim \mathrm{Geom}(p),\; i=1,\ldots,n$

\sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{NB}(n,p)

Si el parámetro r=1 en la distribución binomial negativa, entonces la distribución binomial negativa se convierte en la distribución geométrica . La última distribución es la distribución de Bose-Einstein para una sola fuente [1]

Ejemplo

Deje que se tiren los dados hasta que salgan los primeros seis.

Calcule la probabilidad de que el número de intentos realizados antes del primer éxito, incluido el último intento exitoso, no sea más de tres.

deja _ Después

X\sim \mathrm {Geometría} _{1}(p=1/6)

\mathbb {P} (X\leq 3)=\mathbb {P} (X=1)+\mathbb {P} (X=2)+\mathbb {P} (X=3)=

= \left(\frac{5}{6}\right)^{\!0} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right) ^{\!1} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^{\!2} \left(\frac{1}{ 6}\derecha) \aprox. 0{,}42

Calcule la probabilidad de que el número de "fracasos" antes del primer "éxito" no sea más de dos.

deja _ Después

Y\sim \mathrm {Geometría} _{0}(p=1/6)

\mathbb {P} (Y\leq 2)=\mathbb {P} (Y=0)+\mathbb {P} (Y=1)+\mathbb {P} (Y=2)=

=\left({\frac {5}{6}}\right)^{0}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5} {6}}\derecha)^{1}\izquierda({\frac {1}{6}}\derecha)+\izquierda({\frac {5}{6}}\derecha)^{2}\izquierda ({\frac{1}{6}}\derecha)\aprox. 0{,}42

Véase también

Distribución binomial .

Enlaces

↑ Schopper H. (Ed.) Electron - Interacciones de positrones. Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. P. 133// https://www.twirpx.org/file/3458790/ Archivado el 10 de mayo de 2021 en Wayback Machine .

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula